Question

22、已知正整数a，b，c（其中a≠1）满足a^bc=a^b+30，则a+b+c的最小值是

13

；最大值是

33

．

Answer 1

分析：先把原式化为a^b（c-1）=30的形式，再根据30的正约数可得出b=1，再根据a是30的正约数得出a的可能值求出c的对应值，代入a+b+c进行计算即可．

解答：解：∵a^bc=a^b+30，
∴a^bc-a^b=30，即a^b（c-1）=30，
∴a的b次方必定是30的约数．
∵30的约数有1、2、3、5、6、10、15、30
∴b必定等于1．
当a=2时，c=16，a+b+c=19；
当a=3时，c=11，a+b+c=15；
当a=5时，c=7，a+b+c=13；
当a=6时，c=6，a+b+c=13；
当a=10时，c=4，a+b+c=15；
当a=15时，c=3，a+b+c=19；
当a=30时，c=2，a+b+c=33；
因此最小值是13，最大值是33．
故答案为：13，33．

点评：本题考查的是整数问题的综合运用，能根据题意得出b的值是解答此题的关键．