Question

13．如图，在矩形ABCD中，连接BD，将△ABD沿BD进行折叠，使得点A落到点M处，DM交BC于点N，若AB=2，BD=5，则MN的长度为（　　）

• A． $\frac{17\sqrt{21}}{42}$
• B． $\frac{17\sqrt{21}}{21}$
• C． 17$\sqrt{21}$
• D． 34$\sqrt{21}$

Answer 1

分析 先根据勾股定理求得AD的长，再设MN=x，求得BN=DN=$\sqrt{21}$-x，最后在Rt△BMN中根据勾股定理列出关于x的方程，求得x的值即可．

解答 解：在矩形ABCD中，AB=2，BD=5，∠A=90°，
∴AD=$\sqrt{{5}^{2}-{2}^{2}}$=$\sqrt{21}$，BM=2，
∴DM=$\sqrt{21}$，
设MN=x，则DN=$\sqrt{21}$-x，
由题得，∠ADB=∠MDB，∠ADB=∠DBC，
∴∠MDB=∠DBC，
∴BN=DN=$\sqrt{21}$-x，
在Rt△BMN中，BM²+MN²=BN²
∴2²+x²=（$\sqrt{21}$-x）²
解得x=$\frac{17\sqrt{21}}{42}$，
即MN的长度为$\frac{17\sqrt{21}}{42}$．
故选（A）．

点评 本题以折叠问题为背景，主要考查了矩形的性质以及勾股定理的运用，解决问题的关键是依据直角三角形的三边数量关系，列出关于x的方程求得线段的长，这是方程思想的应用．