Question

如图，在正方形ABCD中，P是CD上一动点（点P与C、D不重合），三角板的直角顶点与点P重合，并且一条直角边始终经过点A，另一直角边与BC交于点E．
（1）△ADP与△PCE相似吗？如果相似，请写出证明过程．
（2）当点P位于CD的中点时，求△PCE与△ADP的面积比．

Answer 1

分析：（1）由于∠APE是直角，易证得∠APD和∠CEP都是∠CPE的余角，所以这两角相等，由此可证得这两个直角三角形相似；
（2）若P是CD的中点，则CP：AD=1：2，即△CPE和△ADP的相似比是1：2；根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可求得两三角形的面积比．

解答：解：（1）△ADP∽△PCE（1分）
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠D=∠C=90°（2分）
∴∠DAP+∠DPA=90°（3分）
又∵∠APE=90°，
∴∠CPE+∠DPA=90°，（4分）
∴∠DAP=∠CPE（6分）
∴△ADP∽△PCE；（7分）

（2）当点P位于CD的中点时，DP=PC=

1

2

DC=

1

2

AD（8分）
∵△ADP∽△PCE，
∴

S△PCE

S△ADP

=

PC2

AD2

=

( 1 2 AD)2

AD2

=

1

4

．（10分）

点评：此题主要考查了正方形的性质以及相似三角形的判定和性质．