Question

【题目】如图1，在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，点E在AD上．

（1）求证：BE=CE；
（2）如图2，若BE的延长线交AC于点F，且BF⊥AC，垂足为F，∠BAC=45°，原题设其它条件不变．求证：△AEF≌△BCF．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵AB＝AC，D是BC的中点，

∴∠BAE＝∠CAE．

在△ABE和△ACE中，

∵AB＝AC，∠BAE＝∠CAE，AE＝AE，

∴△ABE≌△ACE．

∴BE＝CE．（运用垂直平分线的性质说明也可）

（2）解：∵∠BAC＝45°，BF⊥AF，

∴△ABF为等腰直角三角形．

∴AF＝BF．由（1）知AD⊥BC，

∴∠EAF＝∠CBF．

在△AEF和△BCF中，AF＝BF，∠AFE＝∠BFC＝90°，∠EAF＝∠CBF，

∴△AEF≌△BCF

【解析】（1）根据等腰三角形的三线合一，得到∠BAE＝∠CAE，再根据SAS得到△ABE≌△ACE，根据全等三角形的对应边相等，得到BE＝CE；（2）根据已知可得△ABF为等腰直角三角形，得到AF＝BF；由（1）知AD⊥BC，再根据ASA得到△AEF≌△BCF.