Question

【题目】如图1，点A是线段BC上一点，△ABD，△AEC都是等边三角形，BE交AD于点M，CD交AE于N．

（1）求证：BE=DC；

（2）求证：△AMN是等边三角形；

（3）将△ACE绕点A按顺时针方向旋转90°，其它条件不变，在图2中补出符合要求的图形，并判断（1）、（2）两小题结论是否仍然成立，并加以证明．

Answer 1

【答案】（1）证明见详解；（2）证明见详解；（3）（1）的结论成立，（2）的结论不成立，证明见详解

【解析】

(1)根据等边三角形的性质得到AB=AD，AC=AE，∠DAB=∠EAC=60°，则∠DAC=∠BAE,根据“SAS"可判断△ABE≌△ADC，则BE= DC;
(2)由△ABE≌△ADC得到∠ABE=∠ADC，根据"AAS"可判断△ABM≌△ADN(AAS)，则AM=AN;∠DAE=60°，根据等边三角形的判定方法可得到△AMN是等边三角形.
(3)判定结论1是否正确，也是通过证明△ABE≌△ADC求得，这两个三角形中AB=AD，AE=AC，∠BAE和∠CAD都是60°+∠ACB，因此两三角形就全等BE=CD，结论1正确；将△ACE绕点A按顺时针方向旋转90°，则∠DAC> 90°，因此三角形AMN绝对不可能是等边三角形.

解：（1）∵△ABD，△AEC都是等边三角形，

∴AB=AD，AC=AE，∠DAB=∠EAC=60°，

∴∠DAC=∠BAE，

在△ABE和△ADC中，，

∴△ABE≌△ADC（SAS），

∴BE=DC；

（2）由上述（1）证得：△ABE≌△ADC，

∴∠ABM=∠ADN．

在△ABM和△ADN中， ，

∴△ABM≌△ADN（AAS），

∴AM=AN．

∵∠DAE=60°，

∴△AMN是等边三角形；

（3）∵△ABD，△AEC都是等边三角形，

∴AB=AD，AC=AE，∠DAB=∠EAC=60°，

∴∠DAC=∠BAE，

在△ABE和△ADC中，，

∴△ABE≌△ADC（SAS），

∴BE=DC，∠ABE=∠ADC，

∵∠BAC=90°

∴∠MAN＞90°，

∵∠MAN≠60°，

∴△AMN不是等边三角形，

∴（1）的结论成立，（2）的结论不成立．