Question

如图，在菱形ABCD中，AB=AD，对角线AC、BD相交于点O.

(1)图中有哪些线段是相等的？哪些角是相等的？

(2)图中有哪些等腰三角形、直角三角形？

(3)两条对角线AC、BD有什么特定的位置关系？

Answer 1

答案：
解析：

(1)因为菱形是一组邻边相等的平行四边形，平行四边形的对边相等，对角线互相平分，所以图中的：线段AB、BC、CD、DA分别相等，OA与OC，OB与OD分别相等. 因为菱形是平行四边形，所以两组对边分别平行，即：AB∥CD，AD∥BC.由“两直线平行，同旁内角互补”得：∠DAB+∠ADC=180°,∠DAB+∠ABC=180°,所以∠ADC=∠ABC，同理可得：∠DAB=∠BCD. 由“两直线平行，内错角相等”得： ∠DAC=∠ACB，∠ADB=∠DBC ∠BAC=∠ACD，∠ABD=∠BDC. 又因为∠ADC=∠ABC，∠DAB=∠BCD，所以得：∠DAC=∠BAC=∠DCA=∠BCA. ∠ABD=∠CBD=∠ADB=∠CDB. (2) 在这个图中，有4个等腰三角形，即：△ADC、△ABC、△ABD、△BCD为等腰三角形，有4个直角三角形，即：△AOB、△BOC、△COD、△AOD为直角三角形. 理由是：因为四边形ABCD是菱形， 所以：AD=DC，四边形ABCD是平行四边形. 所以，AB=DC，AD=BC，OA=OC，OD=OB，又AD=DC，所以AB=DC=AD=BC，所以图中有四个等腰三角形. 又因为：AD=DC，OA=OC 所以，OD是AC的中垂线. 同理可知：AC是BD的中垂线. 因此可知：图中有四个直角三角形. (3)由以上的分析可以知道：AC与BD这两条对角线互相垂直.