Question

2．如图，直线l与⊙O相切于点A，点P在直线l上，直线PO交⊙O于点B，C，OD⊥AB，垂足为D，交PA于点E．
（1）判断直线BE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若PB=OB=6，求$\widehat{AC}$的长．

Answer 1

分析 （1）欲证明BE是切线，只要证明OB⊥BE即可；
（2）欲求$\widehat{AC}$的长，只要求出∠AOC的值即可；

解答 （1）解：结论：BE是⊙O的切线．
理由：∵PA是切线，
∴OA⊥PA，
∴∠OAE=90°，
∵OD⊥AB，
∴BD=AD，
∴EB=EA，
在△OEB和△OEA中，
$\left\{\begin{array}{l}{OE=OE}\\{OB=OA}\\{BE=EA}\end{array}\right.$，
∴△OEB≌△OEA（SSS），
∴∠OBE=∠OAE=90°，
∴OB⊥BE，
∴BE是⊙O的切线．

（2）解：在Rt△POA中，∵OP=6，OA=3，
∴OP=2OA，
∴∠P=30°，
∴∠POA=60°，
∴∠AOC=120°，
∴$\widehat{AC}$的长=$\frac{120•π•3}{360}$=π．

点评 本题考查切线的性质和判定、全等三角形的判定和性质、直角三角形中30度角的判定、弧长公式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．