Question

17．如图，抛物线F：y=ax²+bx+c（a＞0）与y轴交于点C，直线l₁经过点C且平行于x轴，将直线l₁向上平移t个单位得到直线l₂，设直线l₁与抛物线F的交点为C、D，直线l₂与抛物线F的交点为A、B，连接AC、BC．
（1）若a=$\frac{1}{2}$，b=-$\frac{3}{2}$，c=1，并且△ACB是直角三角形时，求t的值；
（2）若t=$\frac{1}{a}$，判断△ABC的形状；
（3）在（2）的条件下，若点A关于轴的对称点A′恰好在抛物线F的对称轴上，连接A′C，BD，判断四边形A′CBD的形状，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据a、b、c的值，可确定抛物线的解析式，进而可求出C点的坐标；根据t的值，可确定直线L₂的解析式，联立抛物线的解析式即可得到A、B的坐标；根据A、B、C三点的坐标，根据勾股定理，可得关于t的方程，根据解方程，可得答案；
（2）根据抛物线的解析式可知：C点坐标为（0，c），那么直线L₂的解析式为c+t，联立抛物线的解析式可得到关于x的方程，那么方程的两根即为A、B的横坐标，可由根与系数的关系求出AB的长；根据勾股定理及勾股定理的逆定理，可得答案；　
（3）根据菱形的判定有一组邻边相等的两个三角形相似，可得答案．

解答 解：（1）当a=$\frac{1}{2}$，b=-$\frac{3}{2}$，c=1，
y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x+1，
A、B纵坐标为（t+1），
令y=t+1，解得x=-1或x=4，
故A（$\frac{3-\sqrt{9+8t}}{2}$，t+1），B（$\frac{3+\sqrt{9+8t}}{2}$，t+1），C（0，1），
△ACB是直角三角形时，
AC²=t²+（$\frac{3-\sqrt{9+8{t}^{2}}}{2}$）²，BC²=t²+（$\frac{3+\sqrt{9+8t}}{2}$）²，AB²=（$\sqrt{9+8t}$）²，
∴AC²+BC²=AB²，
t²+（$\frac{3-\sqrt{9+8{t}^{2}}}{2}$）²+t²+（$\frac{3+\sqrt{9+8t}}{2}$）²=（$\sqrt{9+8t}$）²，
解得t=2，
当△ABC是直角三角形时，t=2；
2）由方程c+$\frac{1}{a}$=ax²+bx+c得ax²+bx-$\frac{1}{a}$=0，
解得x₁=$\frac{-b-\sqrt{{b}^{2}+4}}{2a}$，x₂=$\frac{-b+\sqrt{b+4}}{2a}$，即A（$\frac{-b-\sqrt{{b}^{2}+4}}{2a}$，c+$\frac{1}{a}$），B（$\frac{-b+\sqrt{b+4}}{2a}$，c+$\frac{1}{a}$），
设方程的两根为x₁、x₂，由根与系数的关系得：
x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁x₂=-$\frac{1}{{a}^{2}}$；
AB=|x₁-x₂|=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{\sqrt{{b}^{2}+4}}{a}$；
AC²=（$\frac{-b-\sqrt{{b}^{2}+4}}{2a}$）²+（$\frac{1}{a}$）²，BC²=（$\frac{-b+\sqrt{b+4}}{2a}$）²+（$\frac{1}{a}$）²，
（$\frac{-b-\sqrt{{b}^{2}+4}}{2a}$）²+（$\frac{1}{a}$）²+（$\frac{-b+\sqrt{b+4}}{2a}$）²+（$\frac{1}{a}$）²=（$\frac{\sqrt{{b}^{2}+4}}{a}$）²，
当t=$\frac{1}{a}$时，△ABC是直角三角形；
（3）四边形A′CBD是菱形，理由如下：
y=ax²+bx+c，当y=0时，解得x₁=0，x₂=-$\frac{b}{a}$，即C（0，c）D（-$\frac{b}{a}$，c），CD=-$\frac{b}{a}$．
如图：
，
因为点A关于y轴的对称点A′恰好在抛物线F的对称轴上，
A（$\frac{-b-\sqrt{{b}^{2}+4}}{2a}$，c+$\frac{1}{a}$），A′（$\frac{b+\sqrt{{b}^{2}+4}}{2a}$，c+$\frac{1}{a}$），B（$\frac{-b+\sqrt{{b}^{2}+4}}{2a}$，c+$\frac{1}{a}$），
∴A′B=-$\frac{b}{a}$；CD=-$\frac{b}{a}$，
∴四边形A′CDB是平行四边形，
$\frac{b+\sqrt{{b}^{2}+4}}{2a}$=-$\frac{b}{2a}$，解得b=-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
A′C²=（$\frac{b+\sqrt{{b}^{2}+4}}{2a}$）²+（$\frac{1}{a}$）²，
A′C=-$\frac{b}{a}$=A′B，
四边形A′CDB是菱形．

点评 本题考查了二次函数综合题，函数图象交点坐标的求法、直角三角形的判定和性质、抛物线的对称性、勾股定理以及平行四边形的判定和性质等重要知识点，综合性强，难度较大．