Question

【题目】已知抛物线C的解析式为y＝x2+2x﹣3，C与x轴交于点A，B（点A在点B左侧），与y轴交于点D，顶点为P．

（Ⅰ）求点A，B，D，P的坐标；

（Ⅱ）若将抛物线C沿着直线PD的方向平移得到抛物线C′；

①当抛物线C′与直线y＝2x﹣5只有一个公共点时，求抛物线C′的解析式；

②点M（xm，ym）是①中抛物线C′上一点，若﹣6≤xm≤2且ym为整数，求满足条件的点M的个数．

Answer 1

【答案】（I）点A、B、D的坐标分别为（﹣3，0）、（1，0）、（0，﹣3），点P（﹣1，﹣4）；（II）①y＝x2﹣2x﹣1；②由满足条件的点M的个数为51个．

【解析】

（I）对于y＝x2＋2x3，令x＝0，则y＝3，令y＝0，则x＝3或1，即可求解；

（II）①求得直线PD的表达式为：y＝x3，则平移后抛物线的表达式为：y＝（xm）2＋m3，由△＝0，即可求解；

②当6≤xm≤1时，2≤ym≤47，此时ym有50个整数；当1＜xm≤2时，此时ym有1个整数，即可求解．

（I）对于y＝x2+2x﹣3，令x＝0，则y＝﹣3，令y＝0，则x＝﹣3或1，

故点A、B、D的坐标分别为：（﹣3，0）、（1，0）、（0，﹣3），

函数的对称轴为x＝﹣1，故点P（﹣1，﹣4）；

（II）①设直线PD的表达式为：y＝kx+b，则，解得：，

故直线PD的表达式为：y＝x﹣3，

则设平移后抛物线的顶点坐标为：（m，m﹣3），

故平移后抛物线的表达式为：y＝（x﹣m）2+m﹣3，

又抛物线C′与直线y＝2x﹣5只有一个公共点，

则y＝（x﹣m）2+m﹣3＝2x﹣5，△＝0，

解得：m＝1，

∴平移后抛物线的表达式为：y＝（x﹣1）2﹣2＝x2﹣2x﹣1；

②由①知平移后抛物线的顶点为（1，﹣2），

当x＝﹣6时，y＝x2﹣2x﹣1＝47，当x＝2时，y＝﹣1，

故当﹣6≤xm≤1时，﹣2≤ym≤47，此时ym有50个整数；

当1＜xm≤2时，此时ym有1个整数；

∵抛物线是连续的，

故满足条件的点M的个数为51个．