【题目】如图①,已知抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)与x轴交于点A(1,0)和点B(-3,0),与y轴交于点C.
(1)求抛物线的解析式;
(2)设抛物线的对称轴与x轴交于点M,问在对称轴上是否存在点P,使△CMP为等腰三角形?若存在,请直接写出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)如图②,若点E为第二象限抛物线上一动点,连接BE、CE,求四边形BOCE面积的最大值,并求此时E点的坐标.
【答案】(1)y=-x2-2x+3;(2)存在,P(-1,)或P(-1,-)或P(-1,6)或P(-1,);(3)当a=-时,S四边形BOCE最大,且最大值为,此时,点E坐标为(-,).
【解析】
(1)已知抛物线过A、B两点,可将两点的坐标代入抛物线的解析式中,用待定系数法即可求出二次函数的解析式;
(2)可根据(1)的函数解析式得出抛物线的对称轴,也就得出了M点的坐标,由于C是抛物线与y轴的交点,因此C的坐标为(0,3),根据M、C的坐标可求出CM的距离.然后分三种情况进行讨论:
①当CP=PM时,P位于CM的垂直平分线上.求P点坐标关键是求P的纵坐标,过P作PQ⊥y轴于Q,如果设PM=CP=x,那么直角三角形CPQ中CP=x,OM的长,可根据M的坐标得出,CQ=3-x,因此可根据勾股定理求出x的值,P点的横坐标与M的横坐标相同,纵坐标为x,由此可得出P的坐标.
②当CM=MP时,根据CM的长即可求出P的纵坐标,也就得出了P的坐标(要注意分上下两点).
③当CM=CP时,因为C的坐标为(0,3),那么直线y=3必垂直平分PM,因此P的纵坐标是6,由此可得出P的坐标;
(3)由于四边形BOCE不是规则的四边形,因此可将四边形BOCE分割成规则的图形进行计算,过E作EF⊥x轴于F,S四边形BOCE=S△BFE+S梯形FOCE.直角梯形FOCE中,FO为E的横坐标的绝对值,EF为E的纵坐标,已知C的纵坐标,就知道了OC的长.在△BFE中,BF=BO-OF,因此可用E的横坐标表示出BF的长.如果根据抛物线设出E的坐标,然后代入上面的线段中,即可得出关于四边形BOCE的面积与E的横坐标的函数关系式,根据函数的性质即可求得四边形BOCE的最大值及对应的E的横坐标的值.即可求出此时E的坐标.
(1)∵抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)与x轴交于点A(1,0)和点B(3,0),
∴
解得:.
∴所求抛物线解析式为:y=x22x+3;
(2)∵抛物线解析式为:y=x22x+3,
∴其对称轴为,
∴设P点坐标为(1,a),当x=0时,y=3,
∴C(0,3),M(1,0)
∴当CP=PM时,(1)2+(3a)2=a2,解得a=,
∴P点坐标为:;
∴当CM=PM时,(1)2+32=a2,解得,
∴P点坐标为:或;
∴当CM=CP时,由勾股定理得:(1)2+32=(1)2+(3a)2,解得a=6,
∴P点坐标为:P4 (1,6).
综上所述存在符合条件的点P,其坐标为或 或P(1,6)或;
(3)过点E作EF⊥x轴于点F,设E(a,a22a+3)(3<a<0)
∴EF=a22a+3,BF=a+3,OF=a
∴
∴当a=时,S四边形BOCE最大,且最大值为.
此时,点E坐标为.
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【题目】如图,点,分别在正方形的边,上,且,点在射线上(点不与点重合).将线段绕点顺时针旋转得到线段,过点作的垂线,垂足为点,交射线于点.
(1)如图1,若点是的中点,点在线段上,线段,,的数量关系为 .
(2)如图2,若点不是的中点,点在线段上,判断(1)中的结论是否仍然成立.若成立,请写出证明过程;若不成立,请说明理由.
(3)正方形的边长为6,,,请直接写出线段的长.
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【题目】小敏的爸爸买了某项体育比赛的一张门票,她和哥哥两人都很想去观看.可门票只有一张,读九年级的哥哥想了一个办法,拿了一个不透明的袋子中装有1个红球和2个白球,这些球除颜色外都相同,随机摸出一个球后,放回并搅匀,再随机摸出一个球,如果两次摸到的球颜色相同,则小敏去;如果两次摸到的球颜色不同,则哥哥去.这个游戏规则公平吗?请说明理由; (请结合树状图或列表解答)
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【题目】工厂对某种新型材料进行加工,首先要将其加温,使这种材料保持在一定温度范围内方可加工,如图是在这种材料的加工过程中,该材料的温度y(℃)时间x(min)变化的数图象,已知该材料,初始温度为15℃,在温度上升阶段,y与x成一次函数关系,在第5分钟温度达到60℃后停止加温,在温度下降阶段,y与x成反比例关系.
(1)写出该材料温度上升和下降阶段,y与x的函数关系式:
①上升阶段:当0≤x≤5时,y= ;
②下降阶段:当x>5时,y .
(2)根据工艺要求,当材料的温度不低于30℃,可以进行产品加工,请问在图中所示的温度变化过程中,可以进行加工多长时间?
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【题目】如图1,抛物线与x轴交于点,,与y轴交于点C,顶点为D,直线AD交y轴于点E.
(1)求抛物线的解析式.
(2)如图2,将沿直线AD平移得到.
①当点M落在抛物线上时,求点M的坐标.
②在移动过程中,存在点M使为直角三角形,请直接写出所有符合条件的点M的坐标.
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【题目】某种商品的标价为500元/件,经过两次降价后的价格为405元/件,并且两次降价的百分率相同.
(1)求该种商品每次降价的百分率;
(2)若该种商品进价为400元/件,两次降价共售出此种商品100件,为使两次降价销售的总利润不少于3200元.问第一次降价后至少要售出该种商品多少件?
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,Rt△ABC的三个顶点分别是A(-3,2),B(0,4),C(0,2).
(1)将△ABC以点C为旋转中心旋转180°,画出旋转后对应的△C;平移△ABC,若A的对应点的坐标为(0,4),画出平移后对应的△;
(2)若将△C绕某一点旋转可以得到△,请直接写出旋转中心的坐标;
(3)在轴上有一点P,使得PA+PB的值最小,请直接写出点P的坐标.
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【题目】如图,抛物线y=x2+bx+c与y轴交于点A(0,2),对称轴为直线x=﹣2,平行于x轴的直线与抛物线交于B、C两点,点B在对称轴左侧,BC=6.
(1)求此抛物线的解析式.
(2)点P在x轴上,直线CP将△ABC面积分成2:3两部分,请直接写出P点坐标.
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【题目】已知:△ABC在直角坐标平面内,三个顶点的坐标分别为A(0,3)、B(3,4)、C(2,2)(正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度).
(1)画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1,点C1的坐标是 ;
(2)以点B为位似中心,在网格内画出△A2B2C2,使△A2B2C2与△ABC位似,且位似比为2:1,点C2的坐标是 ;
(3)△A2B2C2的面积是 平方单位.
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