Question

某数学兴趣小组，利用树影测量树高，如图（1），已测出树AB的影长AC为12米，并测出此太阳光线与地面成30°夹角．（

2

≈1.4，

3

≈1.7）
（1）求出树高AB；
（2）因水土流失，此时树AB沿太阳光线方向倒下，在倾倒过程中，树影长度发生了变化，假设太阳光线于地面夹角保持不变（用图（2）解答）
①求树与地面成45°角时的影长；
②求树的最大影长．

Answer 1

分析：（1）在直角△ABC中，已知∠ACB=30°，AC=12米．利用三角函数即可求得AB的长；
（2）①在△AB₁C₁中，已知AB₁的长，即AB的长，∠B₁AC₁=45°，∠B₁C₁A=30°．过B₁作AC₁的垂线，在直角△AB₁N中根据三角函数求得AN，BN；再在直角△B₁NC₁中，根据三角函数求得NC₁的长．即可求解；
②当树与地面成60°角时影长最大，根据三角函数即可求解．

解答：解：（1）AB=ACtan30°=12×

3

3

=4

3

≈7（米）．
答：树高约为7米．

（2）作B₁N⊥AC₁于N．
①如图（2），B₁N=AN=AB₁sin45°=4

3

×

2

2

≈5（米）．
NC₁=NB₁tan60°=2

6

×

3

≈8.5（米）．
AC₁=AN+NC₁=5+8.5=13.5（米）．
答：树与地面成45°角时的影长约为13.5米．

②如图（2），当树与地面成60°角时影长最大AC₂（或树与光线垂直时影长最大或光线与半径为AB的⊙A相切时影长最大）
AC₂=2AB₂≈14．
答：树的最大影长约为14米．

点评：一般三角形的计算可以通过作高线转化为直角三角形的问题．