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如图,在矩形ABCD中,AB=4,AD=10.一把三角尺的直角顶点P在AD上滑动时(点P与A、D不重合),一直角边始终经过点C,另一直角边与AB交于点E.

(1)证明△DPC∽△AEP;
(2)当∠CPD=30°时,求AE的长;
(3)是否存在这样的点P,使△DPC的周长等于△AEP周长的倍?若存在,求出DP的长;若不存在,请说明理由.

(1)详见解析;(2)AE=;(3)DP=8.

解析试题分析:(1)两个三角形都是直角三角形,所以有一角相等,再根据图中的条件,再求出一对对应角相等,就可以得到△DPC∽△AEP;(2)在△CDP中,根据直角三角形中,30°的角所对的直角边等于斜边的一半,可知PC=8,再根据勾股定理得PD=,然后利用相似三角形的对应边的比相等,即可求出AE的值;(3)因为相似三角形的周长比等于相似比,所以只要△DPC的边CD等于△PAE的边AP的2倍,那么△DPC的周长等于△AEP周长的倍.
试题解析:(1)在△DPC、△AEP中,∠1与∠2互余,∠2与∠3互余,∴∠1=∠3 
又∠A=∠D=90°,∴△DPC∽△AEP
(2)∵∠2=30°,CD=4,∴PC=8,PD=
由(1)得:,所以,所以AE=.
(3)存在这样的点P,使△DPC的周长等于△AEP周长的2倍,
∵相似三角形周长的比等于相似比,设,解得DP=8

考点:1、相似三角形的判定;2、相似三角形的性质.

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如图,△ABC中,DE∥BC,EF∥AB.证明:△ADE∽△EFC.

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如图,已知在矩形ABCD中,AB=2,BC=3,P是线段AD边上的任意一点(不含端点A、D),连结PC,过点P作PE⊥PC交AB于E.

(1)证明△PAE∽△CDP;
(2)当点P在AD上运动时,对应的点E也随之在AB上运动,设AP=x,BE=y,求y与x的函数关系式及y的取值范围;
(3)在线段AD上是否存在不同于P的点Q,使得QC⊥QE?若存在,求线段AP与AQ之间的数量关系;若不存在,请说明理由.

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如图:四边形ABCD和四边形AEFC都是矩形,点B在EF边上.

(1)请你找出图中一对相似三角形(相似比不等于1),并加以证明;
(2)若四边形ABCD的面积为20,求四边形AEFC的面积.

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如图,在正方形网格上有△ABC和△DEF.

(1)求证:△ABC∽△DEF;
(2)计算这两个三角形的周长比;
(3)根据上面的计算结果,你有何猜想?

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在△ABC中,∠CAB=90°,AD⊥BC于点D,点E为AB的中点,EC与AD交于点G,点F在BC上.

(1)如图1,AC:AB=1:2,EF⊥CB,求证:EF=CD.
(2)如图2,AC:AB=1:,EF⊥CE,求EF:EG的值.

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如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AD=2,BC=4,点M是AD的中点,△MBC是等边三角形.

(1)求证:梯形ABCD是等腰梯形;
(2)动点P、Q分别在线段BC和MC上运动,且∠MPQ=60°保持不变.设PC=x,MQ=y,求y与x的函数关系式;
(3)在(2)中:
①当动点P、Q运动到何处时,以点P、M和点A、B、C、D中的两个点为顶点的四边形是平行四边形?并指出符合条件的平行四边形的个数;
②当y取最小值时,判断△PQC的形状,并说明理由.

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(已知:如图所示的一张矩形纸片ABCD(AD>AB),将纸片折叠一次,使点A与点C重合,再展开,折痕EF交AD边于点E,交BC边于点F,分别连结AF和CE。

(1)求证:四边形AFCE是菱形;
(2)若AE=10cm,△ABF的面积为24cm2,求△ABF的周长;
(3)在线段AC上是否存在一点P,使得2AE2=AC·AP?若存在,请说明点P的位置,并予以证明;若不存在,请说明理由。

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科目:初中数学 来源: 题型:解答题

如图,在△ABC中,∠C=90°,AC+BC=9,点O是斜边AB上一点,以O为圆心2为半径的圆分别与AC、BC相切于点D、E。

(1)求AC、BC的长;
(2)若AC=3,连接BD,求图中阴影部分的面积(取3.14)。

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