Question

【题目】在平面直角坐标系中，直角梯形AOBC的位置图所示，∠OAC=90°，AC∥OB，OA=4，AC=5，OB=6．M、N分别在线段AC、线段BC上运动，当△MON的面积达到最大时，存在一种使得△MON周长最小的情况，则此时点M的坐标为 ．

Answer 1

【答案】M（3，4）．

【解析】

试题分析：过点M作MP∥OA，交ON于点P，过点N作NQ∥OB，分别交OA、MP于两点Q、G，则S△MON=S△OMP+S△NMP=MPQG+MPNG=MPQN，因为QN取得最大值是QN=OB时，△MON的面积最大值=OAOB，设O关于AC的对称点D，连接DB，交AC于M，此时△OMN面积最大，周长最小．

解：如图，过点M作MP∥OA，交ON于点P，过点N作NQ∥OB，分别交OA、MP于两点Q、G，

则S△MON=S△OMP+S△NMP=MPQG+MPNG=MPQN，

∵MP≤OA，QN≤OB，

∴当点N与点B重合，QN取得最大值OB时，△MON的面积最大值=OAOB，

设O关于AC的对称点D，连接DB，交AC于M，

此时△MON的面积最大，周长最短，

∵AM∥BO

∴=，即=

∴AM=3，

∴M（3，4）．