Question

在△ABC与△ADE中，点E在BC边上，AD=

4

5

AE，AG为△ADE的中线，且∠EAG=∠ACB，∠DAG=∠B．
（1）如图1，求证：AB=

4

5

AC；
（2）如图2，点F是AC中点，连接DF，∠AFD=∠DAE，连接CD并延长交AB于点K，过点D作DQ∥BC交BK于点Q．
   ①求证：点Q为BK的中点；
   ②试探究线段BE与DQ的数量关系，并证明你的结论．

Answer 1

考点：相似形综合题

专题：

分析：（1）先延长AG至M，使得MG=AG，根据SAS证出△ADG≌△MEG，得出∠DAG=∠M，AD=EM，再根据∠DAG=∠B，得出∠M=∠B，即可得出△AME∽△CBA，从而得出

AB

AC

=

EM

AE

=

AD

AE

，即可证出AB=

4

5

AC；
（2））①根据已知条件得出△CDF∽△CKA，得出CD：CK=CF：AC=1：2，DK=CD，再根据DQ∥BC，得出△KDQ∽△KCB，从而得出

KQ

KB

=

DQ

BC

=

KD

KC

，最后根据CD=DK，得出QK=BQ，BC=2QD，即可得出点Q为BK的中点；
②延长BA至R，使AR=AB，连接CR、DR，根据AAA证出△DAR∽△EAC，得出∠DRA=∠ACB，

DR

CE

=

AD

AE

=

4

5

，再根据DQ∥BC，得出△ABC∽△DQR，根据相似得出

DQ

DR

=

AB

AC

=

4

5

，即可得出CE=

25

16

DQ，最后根据BC=2DQ，得出BE=BC-CE=2DQ-

25

16

DQ=

7

16

DQ，从而得出线段BE与DQ的数量关系．

解答：解：（1）如图1，延长AG至M，使得MG=AG，
在△ADG与△MEG中，

DG=EG ∠AGD=∠EGM AG=GM

，
∴△ADG≌△MEG（SAS），
∴∠DAG=∠M，AD=EM，
∵∠DAG=∠B，
∴∠M=∠B，
∵∠EAG=∠C，
∴△AME∽△CBA，
∴

AB

AC

=

EM

AE

=

AD

AE

=

4

5

，
∴AB=

4

5

AC；

（2）①∵∠EAG=∠ACB，∠DAG=∠B，
∴∠EAD+∠BAC=180°，
又∵∠EAD=∠AFD，
∴∠AFD+∠BAC=180°，
∴DF∥AB，
∴△CDF∽△CKA，
∴CD：CK=CF：AC=1：2，
∴DK=CD，
∵DQ∥BC，
∴△KDQ∽△KCB，
∴

KQ

KB

=

DQ

BC

=

KD

KC

，
∵CD=DK，
∴QK=BQ BC=2QD，
∴点Q为BK的中点；
②延长BA至R，使AR=AB，连接CR、DR，
则

AD

AE

=

AR

AC

，
∵∠EAD+∠BAC=180°∠CAR+∠BAC=180°，
∴∠EAD=∠CAR，
∴∠EAD+∠CAD=∠CAD+∠CAR，即∠EAC=∠DAR，
∴△DAR∽△EAC，
∴∠DRA=∠ACB，

DR

CE

=

AD

AE

=

4

5

，即DR=

4

5

CE，
∵DQ∥BC，
∴∠AQD=∠B，
∴△ABC∽△DQR，
∴

DQ

DR

=

AB

AC

=

4

5

，即DR=

5

4

DQ，
∴

4

5

CE=

5

4

DQ，
∴CE=

25

16

DQ，
∵BC=2DQ，
∴BE=BC-CE=2DQ-

25

16

DQ=

7

16

DQ，
∴BE=

7

16

DQ．

点评：此题考查了相似形综合题，用到的知识点是：全等三角形和相似三角形的判定与性质等，关键是根据题意做出辅助线，构造出三角形与已知三角形全等或相似．