Question

16．如图，在平面直角坐标系中，将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，且斜靠在两坐标轴上，直角顶点C的坐标为（-1，0），点A的坐标为（0，2），点B在抛物线y=ax²+ax-2上．
（1）点B的坐标为（-3，1），抛物线的关系式为y=$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$x-2；
（2）若点D是（1）中所求抛物线在第三象限内的一个动点，连接BD、CD，当△BCD的面积最大时，求点D的坐标；
（3）若将三角板ABC沿射线BC平移得到△A′B′C′，当C′在抛物线上时，问此时四边形ACC′A′是什么特殊四边形？请证明之，并判断点A′是否在抛物线上，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）作BM⊥x轴于M，先证明△BCM≌△CAO，得出BM=CO=1，MC=OA=2，再求出OM，即可得出点B的坐标；把点B的坐标代入抛物线y=ax²+ax-2，求出a的值，即可得出抛物线的解析式；
（2）作直线l∥BC，交抛物线于D，先用待定系数法求出直线BC的解析式，由直线l的解析式和抛物线构成方程组，得出一元二次方程，由△=0时，S_△BCD最大，即可求出点D的坐标；
（3）先求出点C′的坐标，再求出直线AC和A′C′的解析式，求出直线A′C′与抛物线y=$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$x-2另一交点G的坐标，A′与G重合，得出A′在抛物线上；由平移的性质得出四边形ACC′A′是平行四边形，再由CC′=A′C′，∠ACC′=90°，即可证出四边形ACC′A′是正方形．

解答 解：（1）作BM⊥x轴于M，如图1所示：
则∠BMC=90°，
∴∠CBM+∠BCM=90°，
∵C的坐标为（-1，0），点A的坐标为（0，2），
∴CO=1，OA=2，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴BC=CA，∠ACB=90°，
∴∠BCM+∠ACO=90°，
∴∠CBM=∠ACO，
在△BCM和△CAO中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BMC=∠COA=90°}&{\;}\\{∠CBM=∠ACO}&{\;}\\{BC=CA}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BCM≌△CAO（AAS），
∴BM=CO=1，MC=OA=2，
∴OM=2+1=3，
∴点B的坐标为：（-3，1）；
故答案为：（-3，1）；
把B（-3，1）代入抛物线y=ax²+ax-2得：
9a-3a-2=1，
解得：a=$\frac{1}{2}$，
∴抛物线的解析式为：y=$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$x-2；
故答案为：y=$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$x-2；
（2）设直线BC的解析式为：y=kx+b，
根据题意得：$\left\{\begin{array}{l}{-k+b=0}&{\;}\\{-3k+b=1}&{\;}\end{array}\right.$，
解得：k=-$\frac{1}{2}$，b=-$\frac{1}{2}$，
∴直线BC的解析式为：y=-$\frac{1}{2}$x-$\frac{1}{2}$，
作直线l∥BC，交抛物线于D，如图2所示：
设直线l的解析式为：y=-$\frac{1}{2}$x+c，
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}{x}^{2}+\frac{1}{2}x-2}&{\;}\\{y=-\frac{1}{2}x+c}&{\;}\end{array}\right.$，
即$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$x-2=-$\frac{1}{2}$x+c，
整理得：x²+2x-4-2c=0，
当△=0时，S_△BCD最大，
此时x₁=x₂=-1，y=-2，
∴点D的坐标为：（-1，-2）；
（3）四边形ACC′A′是正方形；点A′在抛物线上；理由如下：
根据题意得：点C′为直线BC与抛物线的交点，
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}}\\{y=\frac{1}{2}{x}^{2}+\frac{1}{2}x-2}\end{array}\right.$得：$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=-1}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{x=-3}\\{y=1}\end{array}\right.$ （舍去），
∴点C′的坐标为：（1，-1），
设直线AC的解析式为：y=kx+b，
根据题意得：$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{-k+b=0}\end{array}\right.$，
解得：k=2，b=2，
∴直线AC的解析式为：y=2x+2，
∵A′C′∥AC，
设直线A′C′的解析式为：y=2x+c，
把点C′（1，-1）代入得：c=-3，
∴直线A′C′的解析式为：y=2x-3，
设直线A′C′与抛物线y=$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$x-2交于另一点G，
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=2x-3}\\{y=\frac{1}{2}{x}^{2}+\frac{1}{2}x-2}\end{array}\right.$ 得：$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=1}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=-1}\end{array}\right.$ （舍去），
∴点G的坐标为：（2，1），
∴C′G=$\sqrt{（2-1）^{2}+（1+1）^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∵AC=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴A′与G重合，
∴A′在抛物线上；
作C′F⊥x轴于F，如图3所示：
根据勾股定理得：CC′=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴CC′=A′C′，
∵AC∥A′C′，AC=A′C′，
∴四边形ACC′A′是平行四边形，
又∵∠ACC′=90°，
∴四边形ACC′A′是正方形；

点评 本题是二次函数综合题目，考查了二次函数解析式的求法、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、一次函数解析式的求法、勾股定理、平移的性质、正方形的判定等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（2）（3）中，需要多次求直线的解析式和解方程组才能得出结果．