如图.矩形ABCD的边长AB=6.BC=4.点F在DC上.DF=2．动点M.N分别从点D.B同时出发.沿射线DA.线段BA向点A的方向运动.当动点N运动到点A时.M.N两点同时停止运动．连结FM.MN.FN.当F.N.M不在同一条直线时.可得△FMN.过△FMN三边的中点作△PQW．设动点M.N的速度都是1个单位/秒.M.N运动的时间为x秒．试解答下列问� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

如图，矩形ABCD的边长AB=6，BC=4，点F在DC上，DF=2．动点M、N分别从点D、B同时出发，沿射线DA、线段BA向点A的方向运动，当动点N运动到点A时，M、N两点同时停止运动．连结FM、MN、FN，当F、N、M不在同一条直线时，可得△FMN，过△FMN三边的中点作△PQW．设动点M、N的速度都是1个单位/秒，M、N运动的时间为x秒．试解答下列问题：
（1）证明：△FMN∽△QWP；
（2）试问x（0≤x≤4）为何值时，△PQW为直角三角形？
（3）问当x为何值时，线段MN最短？求此时MN的值．
（4）问当x为何值时，半径为1的⊙M与半径为NB的⊙N相切？

考点：相似形综合题

专题：

分析：（1）先根据三角形中位线定理得出PQ∥FN，PW∥MN，再证明∠QPW=∠MNF，同理得出∠PQW=∠NFM，即可得出答案；
（2）根据当△QWP是直角三角形时，△FMN也为直角三角形，作FG⊥AB，得出GB=CF=4，GN=4-x，DM=x，分两种情况①当MF⊥FN时，△DFM∽△GFN，得出4-x=2x，求出x，②当MN⊥FN时，点M与点A重合，点N与点G重合，得出x=AD=GB=4；
（3）分两种情况讨论①当0≤x≤4，即M从D到A运动时，得出只有当x=4时，MN的值最小；②当4＜x≤6时，MN²=AM²+AN²=（x-4）²+（6-x）²=2（x-5）²+2，当x=5时，求得MN取得最小值2，再进行比较即可；
（4）分两种情况讨论当⊙M与⊙N外切时，（4-x）²+（6-x）²=（x+1）²，当⊙M与⊙N内切时，（x-4）²+（6-x）²=（x-1）²，再计算即可．

解答：解：（1）∵点P、M、Q是△FMN三边的中点，
∴PQ∥FN，PW∥MN，
∴∠QPW=∠PWF，∠PWF=∠MNF，
∴∠QPW=∠MNF，同理∠PQW=∠NFM，
∴△FMN∽△QWP；

（2）由于△FMN∽△QWP，故当△QWP是直角三角形时，△FMN也为直角三角形．
作FG⊥AB，则四边形FCBG是正方形，有GB=CF=CD-DF=4，GN=GB-BN=4-x，DM=x，

①当MF⊥FN时，
∵∠DFM+∠MFG=∠MFG+∠GFN=90°，
∴∠DFM=∠GFN．
∵∠D=∠FGN=90°，
∴△DFM∽△GFN，
∴DF：FG=DM：GN=2：4=1：2，
∴GN=2DM，
∴4-x=2x，
∴x=

；

②当MN⊥FN时，点M与点A重合，点N与点G重合，

∴x=AD=GB=4．
∴当x=4或

时，△QWP为直角三角形；

（3）

①当0≤x≤4，即M从D到A运动时，
只有当x=4时，MN的值最小，等于2；
②当4＜x≤6时，MN²=AM²+AN²=（x-4）²+（6-x）²=2（x-5）²+2
当x=5时，MN²=2，故MN取得最小值

，故当x=5时，线段MN最短，MN=

．

（4）当半径为1的⊙M与半径为NB的⊙N外切时，（4-x）²+（6-x）²=（x+1）²解得：x₁=11-

，x₂=11+

（舍去），
当半径为1的⊙M与半径为NB的⊙N内切时，（x-4）²+（6-x）²=（x-1）²解得：x₁=9-

，x₂=9+

（舍去），
综上：当x=11-

或9-

时半径为1的⊙M与半径为NB的⊙N相切．

点评：此题考查了相似综合，用到的知识点是相似三角形的性质、勾股定理、三角形的中位线定理，关键是根据题意画出图形，注意分类讨论思想的应用．

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