Question

在△ABC，∠BAC为锐角，AB＞AC，AD平分∠BAC交BC于点D．
（1）如图1，若△ABC是等腰直角三角形，直接写出线段AC，CD，AB之间的数量关系；
（2）BC的垂直平分线交AD延长线于点E，交BC于点F．
①如图2，若∠ABE=60°，判断AC，CE，AB之间有怎样的数量关系并加以证明；
②如图3，若AC+AB=

3

AE，求∠BAC的度数．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,线段垂直平分线的性质,等腰直角三角形,解直角三角形

专题：计算题

分析：（1）AB=AC+CD，理由为：过D作DE垂直于AB，利用角平分线定理得到DC=DE，进而利用HL得到三角形ACD与三角形AED全等，利用全等三角形对应边相等得到AC=AE，再由三角形ABC为等腰直角三角形得到三角形BDE为等腰直角三角形，即DE=EB，由AB=AE+EB，等量代换即可得证；
（2）①AB=AC+CE，理由为：在线段AB上截取AH=AC，连接EH，由AD为角平分线得到一对角相等，再由AC=AH，AE=AE，利用SAS得到三角形ACE与三角形AHE全等，得到CE=HE，由EF垂直平分BC，得到CE=BE，根据∠ABE=60°，得到△EHB是等边三角形，进而得到BH=HE，由AB=AH+HB，等量代换即可得证；
②在线段AB上截取AH=AC，连接EH，作EM⊥AB于点M．同理可得△ACE≌△AHE，得到CE=HE，进而确定出△EHB是等腰三角形，得到HM=BM，根据AC+AB=AH+AB=AM-HM+AM+MB=2AM，将已知等式AC+AB=

3

AE，代入得：AM=

3

2

AE，在Rt△AEM中，利用锐角三角函数定义求出cos∠EAM的值，进而确定出∠EAB=30°，即可得到∠CAB的度数．

解答：解：（1）AB=AC+CD，理由为：
过D作DE⊥AB，如图1所示，

∵AD平分∠BAC，DC⊥AC，
∴CD=DE，
在Rt△ACD和Rt△AED中，

DC=DE AD=AD

，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴AC=AE，
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠B=45°，即△BDE为等腰直角三角形，
∴CD=DE=EB，
则AB=AE+EB=AC+CD；    
（2）①AB=AC+CE；  
证明：在线段AB上截取AH=AC，连接EH，如图2所示，

∵AD平分∠BAC，
∴∠CAE=∠BAE，
在△ACE和△AHE中，

AC=AH ∠CAE=∠BAE AE=AE

，
∴△ACE≌△AHE（SAS），
∴CE=HE，
∵EF垂直平分BC，
∴CE=BE，
又∠ABE=60°，
∴△EHB是等边三角形，
∴BH=HE，
∴AB=AH+HB=AC+CE；
②在线段AB上截取AH=AC，连接EH，作EM⊥AB于点M．如图3所示，

同理可得△ACE≌△AHE，
∴CE=HE，
∴△EHB是等腰三角形，
∴HM=BM，
∴AC+AB=AH+AB=AM-HM+AM+MB=2AM，
∵AC+AB=

3

AE，
∴AM=

3

2

AE，
在Rt△AEM中，cos∠EAM=

AM

AE

=

3

2

，
∴∠EAB=30°．
∴∠CAB=2∠EAB=60°．

点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线定理，等腰直角三角形，以及解直角三角形，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．