Question

（2012•乐山）如图，直线y=2x+2与y轴交于A点，与反比例函数y=

k

x

（x＞0）的图象交于点M，过M作MH⊥x轴于点H，且tan∠AHO=2．
（1）求k的值；
（2）点N（a，1）是反比例函数y=

k

x

（x＞0）图象上的点，在x轴上是否存在点P，使得PM+PN最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据直线解析式求A点坐标，得OA的长度；根据三角函数定义可求OH的长度，得点M的横坐标；根据点M在直线上可求点M的坐标．从而可求K的值；
（2）根据反比例函数解析式可求N点坐标；作点N关于x轴的对称点N₁，连接MN1与x轴的交点就是满足条件的P点位置．

解答：解：
（1）由y=2x+2可知A（0，2），即OA=2．…（1分）
∵tan∠AHO=2，∴OH=1．…（2分）
∵MH⊥x轴，∴点M的横坐标为1．
∵点M在直线y=2x+2上，

∴点M的纵坐标为4．即M（1，4）．…（3分）
∵点M在y=

k

x

上，
∴k=1×4=4．…（4分）
（2）存在．
过点N作N关于x轴的对称点N₁，连接MN₁，交x轴于P（如图所示）．此时PM+PN最小．
∵点N（a，1）在反比例函数y=

4

x

（x＞0）上，
∴a=4．即点N的坐标为（4，1）．…（5分）
∵N与N₁关于x轴的对称，N点坐标为（4，1），
∴N₁的坐标为（4，-1）．…（7分）
设直线MN₁的解析式为y=kx+b．
由

4=k+b -1=4k+b.

解得k=-

5

3

，b=

17

3

．…（9分）
∴直线MN₁的解析式为y=-

5

3

x+

17

3

．
令y=0，得x=

17

5

．
∴P点坐标为（

17

5

，0）．…（10分）

点评：此题考查一次函数的综合应用，涉及线路最短问题，难度中等．