Question

如图，在以O为圆心的两个同心圆中，AB经过圆心O，且与小圆相交于点A.与大圆相交于点B．小圆的切线AC与大圆相交于点D，且CO平分∠ACB．
(1)试判断BC所在直线与小圆的位置关系，并说明理由；
(2)试判断线段AC.AD.BC之间的数量关系，并说明理由；
(3)若，求大圆与小圆围成的圆环的面积．（结果保留π）

Answer 1

（1）BC所在直线与小圆相切．
理由如下：
过圆心O作OE⊥BC，垂足为E；
∵AC是小圆的切线，AB经过圆心O，
∴OA⊥AC；
又∵CO平分∠ACB，OE⊥BC，
∴OE=OA，
∴BC所在直线是小圆的切线．
（2）AC+AD=BC．
理由如下：
连接OD．
∵AC切小圆O于点A，BC切小圆O于点E，
∴CE=CA；
∵在Rt△OAD与Rt△OEB中，OA=OE，OD=OB，
∴Rt△OAD≌Rt△OEB（HL），
∴EB=AD；
∵BC=CE+EB，
∴BC=AC+AD．
（3）∵∠BAC=90°，AB=8，BC=10，
∴AC=6；
∵BC=AC+AD，
∴AD=BC-AC=4，
∵圆环的面积为：S=πOD²-πOA²=π（OD²-OA²），
又∵OD²-OA²=AD²，
∴S=4²π=16π（cm²）．

解析