如图.在平面直角坐标系xOy中.动点A(a.0)在x轴的正半轴上.定点B(m.n)在第一象限内.在△OAB外作正方形ABCD和正方形OBEF.连接FD.点M为线段FD的中点.作BB1⊥x轴于点B1.作FF1⊥x轴于点F1．(1)填空:由△FOF1≌△OBB1.及B(m.n)可得点F的坐标为.同理可得点D的坐标为,(说明:点F.点D的坐标用含m.n.a的式子表示)的结论解决下� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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3．如图，在平面直角坐标系xOy中，动点A（a，0）在x轴的正半轴上，定点B（m，n）在第一象限内（m＜2≤a），在△OAB外作正方形ABCD和正方形OBEF，连接FD，点M为线段FD的中点，作BB₁⊥x轴于点B₁，作FF₁⊥x轴于点F₁．
（1）填空：由△FOF₁≌△OBB₁，及B（m，n）可得点F的坐标为（-n，m），同理可得点D的坐标为（a+n，a-m）；（说明：点F，点D的坐标用含m，n，a的式子表示）
（2）直接利用（1）的结论解决下列问题：
①当点A在x轴的正半轴上指定范围内运动时，点M总落在一个函数图象上，求该函数的解析式（不必写出自变量x的取值范围）；
②当点A在x轴的正半轴上运动且满足2≤a≤8时，求点M所经过的路径的长．

分析（1）如图1中，作DH⊥x轴于H．只要证明△FOF₁≌△OBB₁，可得FF₁=OB₁=m，OF₁=BB₁=n，推出F（-n，m），同法可得点D坐标；
（2）①如图2中，设M（x，y）．利用中点坐标公式即可解决问题；
②求出起始点M的坐标，利用两点间距离公式即可解决问题；

解答解：（1）如图1中，作DH⊥x轴于H．

∵四边形OBEF是正方形，
∴OB=OF，∠FOB=90°，
∵FF₁⊥x轴，BB₁⊥x轴，
∴∠FF₁O=∠BB₁O=90°，
∴∠FOF₁+∠BOB₁=90°，∠BOB₁+∠OBB₁=90°，
∴△FOF₁≌△OBB₁，
∴FF₁=OB₁=m，OF₁=BB₁=n，
∴F（-n，m），
同法可证BB₁=AH=n，DH=AB₁=a-m，
∴D（a+n，a-m），
故答案为△FOF₁，△OBB₁，（-n，m），（a+n，a-m）．

（2）①如图2中，设M（x，y）．

∵F（-n，m），D（a+n，a-m），FM=DM，
∴x=$\frac{-n+a+n}{2}$，y=$\frac{m+a-m}{2}$，
∴x=$\frac{a}{2}$，y=$\frac{a}{2}$，
∴y=x．
∴点M总落在一个函数图象上，该函数的解析式为y=x．

②∵2≤a≤8，
∴a=2时，M（1，1），
a=8时，M（4，4），
∴点M的运动路径的长为$\sqrt{（4-1）^{2}+（4-1）^{2}）}$=3$\sqrt{2}$．

点评本题考查四边形综合题、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、中点坐标公式、两点间距离公式等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．

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