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    我们给出如下定义：如果一个三角形的一个内角等于另一个内角的2倍，我们称这样的三角形为“倍角三角形”．在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c．
    （1）若∠A=2∠B，且∠A=60°，求证：a2=b（b+c）．
    （2）如果对于任意的倍角三角形ABC（如图），其中∠A=2∠B，关系式a2=b（b+c）是否仍然成立？请证明你的结论；
    （3）试求出一个倍角三角形的三条边的长，使这三条边长恰为三个连续的正整数．

    【答案】分析：（1）由∠A=2∠B，且∠A=60°，可求得∠C=90°，由勾股定理与c=2b，即可证得：a2=b（b+c）；
    （2）首先延长BA至点D，使AD=AC=b，连接CD，易证得△ACD与△BCD是等腰三角形，AC=AD=b，BC=CD=a，BD=b+c，又由△ACD∽△CBD，利用相似三角形的对应边成比例，即可求得答案；
    （3）由题意得：若△ABC是倍角三角形，由∠A=2∠B，应有a2=b（b+c），且a＞b；然后分别从a＞c＞b，c＞a＞b，a＞b＞c去分析，即可求得符合要求的值．
    解答：（1）证明：∵∠A=2∠B，且∠A=60°，
    ∴∠B=30°，
    ∴∠C=180°-∠A-∠B=90°，
    ∴a2+b2=c2，c=2b，
    ∴a2=c2-b2=（2b）2-b2=3b2=b2+2b2=b2+bc=b（b+c）．…（2分）

    （2）关系式a2=b（b+c）仍然成立．…（3分）
    证明：如图，延长BA至点D，使AD=AC=b，连接CD．…（4分）
    则△ACD为等腰三角形，
    ∴∠ACD=∠D，
    ∵∠BAC为△ACD的一个外角，
    ∴∠BAC=∠D+∠ACD=2∠D，
    ∵∠BAC=2∠B，
    ∴∠B=∠D，
    ∴CD=BC=a，∠B=∠ACD，
    ∴BD=AB+AD=b+c，
    又∵∠D为△ACD与△CBD的一个公共角，
    ∴△ACD∽△CBD．…（4分）
    ∴，即，
    ∴a2=b（b+c）．…（6分）

    （3）若△ABC是倍角三角形，由∠A=2∠B，应有a2=b（b+c），且a＞b．
    当a＞c＞b时，设a=n+1，c=n，b=n-1，（n为大于1的正整数）
    代入a2=b（b+c），得（n+1）2=（n-1）•（2n-1），
    解得：n=5，
    ∴a=6，b=4，c=5，可以证明这个三角形中，∠A=2∠B；
    当c＞a＞b或a＞b＞c时，
    均不存在三条边长恰为三个连续正整数的倍角三角形．
    ∴边长为4，5，6的三角形为所求．…（8分）
    点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、一元二次方程的求解方法以及三角形的三边关系．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想与方程思想的应用．
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    根据上述定义，请解答下列问题：
    如图②，平面直角坐标系xoy内，直线l1的关系式为y=x，直线l2的关系式为y=
    1
    2
    x    ，M是平面直角坐标系内的点．
    （1）若p=q=0，求距离坐标为[0，0]时，点M的坐标；
    （2）若q=0，且p+q=m（m＞0），利用图②，在第一象限内，求距离坐标为[p，q]时，点M的坐标；
    （3）若p=1，q=
    1
    2
    ，则坐标平面内距离坐标为[p，q]时，点M可以有几个位置？并用三角尺在图③画出符合条件的点M（简要说明画法）．
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    矩形
    ；
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    根据上述定义，请解答下列问题：
    如图②，平面直角坐标系xoy内，直线l1的关系式为y=x，直线l2的关系式为，M是平面直角坐标系内的点．
    （1）若p=q=0，求距离坐标为[0，0]时，点M的坐标；
    （2）若q=0，且p+q=m（m＞0），利用图②，在第一象限内，求距离坐标为[p，q]时，点M的坐标；
    （3）若，则坐标平面内距离坐标为[p，q]时，点M可以有几个位置？并用三角尺在图③画出符合条件的点M（简要说明画法）．

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