Question

15．如图1，已知△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，BC=6，点D为AB边上任意一点．
（1）填空：线段CD的取值范围是4.8≤CD≤8．
（2）如图2，当CD为△ABC的角平分线时，求CD的长．
（3）在题目（2）中，若把∠ACB的平分线CD改成∠CAB的平分线AG，其余条件均不变，如图3，能求出AG的长吗？请试一试．

Answer 1

分析 （1）如图1中，作CE⊥AB于E，求出CD的最小值（EC的长），最大值（CA的长）即可．
（2）如图2中，作DE⊥BC于E，设EC=DE=x，由DE∥AC，推出$\frac{DE}{AC}$=$\frac{EB}{BC}$，列出方程即可解决问题．
（3）如图3中，作GE⊥AB于E．先证明AC=AE，GC=GE，设GC=GE=x，在Rt△EGB中，根据BG²=EG²+EB²，列出方程即可解决问题．

解答 解：（1）如图1中，作CE⊥AB于E．

∵∠ACB=90°，AB=10，BC=6，
∴AC=$\sqrt{A{C}^{2}-B{C}^{2}}$=$\sqrt{1{0}^{2}-{6}^{2}}$=8，
∵$\frac{1}{2}$•AC•BC=$\frac{1}{2}$•AB•CE，
∴CE=$\frac{AC•BC}{AB}$=4.8，
∵点D在线段AB上，
∴4.8≤CD≤8．
故答案为4.8≤CD≤8．

（2）如图2中，作DE⊥BC于E．

∵CD平分∠ACB，∠ACB=90°，
∴∠ACD=∠DCB=45°，
∵∠DEC=90°，
∴∠ECD=∠EDC=45°，
∴EC=DE，设EC=DE=x，
∵DE∥AC，
∴$\frac{DE}{AC}$=$\frac{EB}{BC}$，
∴$\frac{x}{8}$=$\frac{6-x}{6}$，
∴x=$\frac{24}{7}$，
∴CD=$\sqrt{2}$DE=$\frac{24\sqrt{2}}{7}$．

（3）如图3中，作GE⊥AB于E．

在△AGC和△AGE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠GAC=∠GAE}\\{∠C=∠AEG}\\{AG=AG}\end{array}\right.$，
∴△AGC≌△AGE，
∴AC=AE=8，GC=GE，设GC=GE=x，
在Rt△EGB中，∵BG²=EG²+EB²，
∴（6-x）²=x²+2²，
∴x=$\frac{8}{3}$，
∴AG=$\sqrt{A{C}^{2}+C{G}^{2}}$=$\sqrt{{8}^{2}+（\frac{8}{3}）^{2}}$=$\frac{8\sqrt{10}}{3}$．

点评 本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质、平行线的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会转化的思想思考问题，用方程解决问题，属于中考压轴题．