Question

如图，将一张矩形纸片（矩形ABCD）按如图方式折叠，使顶点B和D重合，折痕为EF．
（1）连接EB，求证：四边形EBFD是菱形；
（2）若AB=3，BC=9，求重叠部分三角形DEF的面积．

Answer 1

（1）证明：连接BE，
∵AD∥BC，
∴∠1=∠2，
∵将一张矩形纸片（矩形ABCD）按如图方式折叠，使顶点B和D重合，
∴∠2=∠3，BE=DE，BF=DF，
∴∠1=∠3，
∴ED=DF=DE=BF，
∴四边形EBFD是菱形；

（2）解：设AE=x，则DE=BE=9-x，
在Rt△ABE中，AE²+AB²=BE²，
∴x²+3²=（9-x）²，
解得：x=4，
∴DE=9-4=5，
∴重叠部分三角形DEF的面积为：×3×5=7.5．
分析：（1）利用翻折变换的性质得出∠2=∠3，BE=DE，BF=DF，进而利用等腰三角形的性质得出三条边相等即可；
（2）利用勾股定理得出AE的长，进而得出DE的长，再利用三角形面积公式求出即可．
点评：此题主要考查了翻折变换的性质以及勾股定理和菱形的判定等知识，根据已知得出BE=DE是解题关键．