Question

14．如图，以Rt△ABC的AC边为直径作⊙O交斜边AB于点E，连接EO并延长交BC的延长线于点D，点F为BC的中点，连接EF和AD．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为2，∠EAC=60°，求AD的长．

Answer 1

分析 （1）连接FO，由F为BC的中点，AO=CO，得到OF∥AB，由于AC是⊙O的直径，得出CE⊥AE，根据OF∥AB，得出OF⊥CE，于是得到OF所在直线垂直平分CE，推出FC=FE，OE=OC，再由∠ACB=90°，即可得到结论．
（2）证出△AOE是等边三角形，得到∠EOA=60°，再由直角三角形的性质即可得到结果．

解答 （1）证明：连接CE，如图所示：
∵AC为⊙O的直径，
∴∠AEC=90°．
∴∠BEC=90°．
∵点F为BC的中点，
∴EF=BF=CF．
∴∠FEC=∠FCE．
∵OE=OC，
∴∠OEC=∠OCE．
∵∠FCE+∠OCE=∠ACB=90°，
∴∠FEC+∠OEC=∠OEF=90°．
∴EF是⊙O的切线．
（2）解：∵OA=OE，∠EAC=60°，
∴△AOE是等边三角形．
∴∠AOE=60°．
∴∠COD=∠AOE=60°．
∵⊙O的半径为2，
∴OA=OC=2
在Rt△OCD中，∵∠OCD=90°，∠COD=60°，
∴∠ODC=30°．
∴OD=2OC=4，
∴CD=$2\sqrt{3}$．
在Rt△ACD中，∵∠ACD=90°，AC=4，CD=$2\sqrt{3}$．
∴AD=$\sqrt{A{C}^{2}+C{D}^{2}}$=$2\sqrt{7}$．

点评 本题考查了切线的判定和性质，三角形的中位线的性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，熟练掌握定理是解题的关键．