Question

矩形纸片ABCD中，点P在AD上，且∠APB=70°，分别沿PB，PC将△PAB，△PDC翻折180°，得到△PA′B，△PD′C．设∠A′PD′=α，∠BCD′=β，则β=

 

．（用含α的式子表示）

Answer 1

考点：翻折变换（折叠问题）

专题：分类讨论

分析：分类讨论：当点D′在矩形ABCD外部，点A′在△PDC内部，则∠DCD′=90°+β，根据折叠的性质得∠A′PB=∠APB=70°，∠DCP=∠DCP=

1

2

（90°+β），∠DPC=∠D′PC，根据邻补角和互余的关系得到∠DPA′=40°，∠DPC=

1

2

（90°-β），然后根据∠A′PD′+∠DPA′=∠DPC+∠D′PC得到α+40°=2×

1

2

（90°-β），整理得β=50°-α；同理得到当点D′在矩形ABCD外部，点A′在△PDC外部时，有∠DPA′-∠A′PD′=∠DPC+∠D′PC，即40°-α=2×

1

2

（90°-β），整理得到β=50°+α；
当点D′在矩形ABCD的内部，点A′在△PDC内部，则∠DCD′=90°-β，根据折叠的性质得∠A′PB=∠APB=70°，∠DCP=∠DCP=

1

2

（90°-β），∠DPC=∠D′PC，根据邻补角和互余的关系得到∠DPA′=40°，∠DPC=

1

2

（90°+β），然后利用∠A′PD′+∠DPA′=∠DPC+∠D′PC得到α+40°=2×

1

2

（90°+β），整理可得β=α-50°；同理当点D′在矩形ABCD的内部，点A′在△PDC外部时，有β=α+50°．

解答：解：当点D′在矩形ABCD外部，点A′在△PDC内部，如图1，
∵∠BCD′=β，
∴∠DCD′=90°+β，
∵沿PB，PC将△PAB，△PDC翻折180°，得到△PA′B，△PD′C，
∴∠A′PB=∠APB=70°，∠DCP=∠DCP=

1

2

（90°+β），∠DPC=∠D′PC，
∴∠DPA′=180°-2×70°=40°，∠DPC=90°-∠DCP=

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2

（90°-β），
∵∠A′PD′+∠DPA′=∠DPC+∠D′PC，
∴α+40°=2×

1

2

（90°-β），
∴β=50°-α；
同理得到当点D′在矩形ABCD外部，点A′在△PDC外部时，∠DPA′-∠A′PD′=∠DPC+∠D′PC，即40°-α=2×

1

2

（90°-β），
∴β=50°+α；
当点D′在矩形ABCD的内部，点A′在△PDC内部，如图2，
∵∠BCD′=β，
∴∠DCD′=90°-β，
∵沿PB，PC将△PAB，△PDC翻折180°，得到△PA′B，△PD′C，
∴∠A′PB=∠APB=70°，∠DCP=∠DCP=

1

2

（90°-β），∠DPC=∠D′PC，
∴∠DPA′=180°-2×70°=40°，∠DPC=90°-∠DCP=

1

2

（90°+β），
∵∠A′PD′+∠DPA′=∠DPC+∠D′PC，
∴α+40°=2×

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2

（90°+β），
∴β=α-50°；
同理当点D′在矩形ABCD的内部，点A′在△PDC外部时，有β=α+50°，
综上所述，β=50°±α或β=α-50°．
故答案为β=50°±α或β=α-50°．

点评：本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了矩形的性质和三角形内角和定理．