Question

已知：如图1，菱形ABCD的边长为6，∠BAD=120°，对角线相交于O．点P是AB边上一个动点，它从A点出发，以每秒1个长度单位的速度向B点移动，E是OD的中点，连接PE并延长，交CD于F，过点P作PQ⊥BC于Q，连接PEDP、DQ，设移动时间为t（s），DF的长为z，△DPQ的面积为S．
（1）写出使△DEF∽△BEF的条件：

∠DEF=∠BEP，∠FDE=∠EBP

；
（2）求z关于t的函数关系式；
（3）求S关于t的函数关系式，并求出t为何值时，S最大？最大值是多少？
（4）以O为坐标原点，菱形ABCD的对角线所在的直线为坐标轴建立直角坐标系（如图2），直线EQ与x轴的交点为G，当t=2（s）时，①求直线EQ的函数解析式；②求△EOG的外接圆的面积．

Answer 1

分析：（1）根据相似三角形的判定求出即可；
（2）求出PB、BQ，根据△DEF∽△BEP，得出比例式，代入求出即可；
（3）根据S=S_△DPB+S_△DBQ-P_△PBQ和三角形的面积公式代入求出即可，根据二次函数的顶点式，求出最大值即可；
（4）求出E、G的坐标，用待定系数法求出直线ED即可；根据直线EG的解析式求出与x轴的交点坐标，根据勾股定理求出EG即可．

解答：（1）解：故答案为：∠DEF=∠BEP，∠FDE=∠PBE．

（2）解：由已知条件得知：PB=6-t，BQ=3-

1

2

t，
由△DEF∽△BEP，
∴

DF

PB

=

DE

EB

=

1

3

，
x=

1

3

PB=

1

3

（6-t）=-

1

3

t+2．

（3）解：S=S_△DPB+S_△DBQ-P_△PBQ，
=

1

2

（6-t）•6sin60°+

1

2

（3-

1

2

t）•6sin60°-

1

2

（3-

1

2

t）（6-t）sin60°，
=-

3

8

t²-

3 3

4

t+9

3

．
∵t≥0，
∴当t=0时，S最大，最大值是9

3

．

（4）解：①OD=6sin60°=3

3

，
∴E的坐标是（0，

3 3

2

）；
当t=2秒时，BQ=2，Q的坐标是（1，-2

3

）；
设直线EG的解析式是y=kx+b，
把E、G的坐标代入得：

3 3 2 =b -2 3 =k+b

，
解得：k=-

7

2

3

，b=

3 3

2

，
∴直线EQ的函数解析式是y=-

7

2

3

x+

3 3

2

．
②把y=0代入得：x=

3

7

，
∴G的坐标是（

3

7

，0），
由勾股定理得：EG²=EO²+OG²=

1359

196

，
∴△EOG的外接圆的面积为π(

EG

2

)2=

1359

784

π．

点评：本题综合考查了二次函数的最值，用待定系数法求出一次函数的解析式，勾股定理，相似三角形的性质和判定，菱形的性质，三角形的外接圆等知识点的运用，此题综合性比较强，有一定的难度，综合运用性质进行推理和计算是解此题的关键．