Question

求证：有两条中线相等的三角形是等腰三角形．

Answer 1

已知：BD、CE是△ABC的两条中线（如图），BD=CE
求证：AB=AC．
证明1：作中线AF，则三条中线交于重心G．
∵BG=

2

3

BD，CG=

2

3

CE，
∴BG=CG；
∴GF⊥BC，即AF⊥BC．
又∵AF是中线，
∴AB=AC．

证明2：如图，将EC沿ED平移得DF，连接ED、CF，则四边形EDFC是平行四边形，
∴DF=EC，
而EC=BD，
∴BD=DF．
又∵D、E分别AC、AB的中点，
∴DE∥BC，
∴B、C、F三点共线．
∴∠DBF=∠DFB=∠ECB，
又∵BD=CE，BC=CB，
∴△ECB≌△DBC（SAS），
∴∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC．