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    （2013•宜城市模拟）如图，四边形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，顶点在B点的抛物线交x轴于点A、D，交y轴于点E，连接AE、BE．已知tan∠CBE=
    13
    ，A（3，0），D（-1，0），E（0，3）．
    （1）求抛物线的解析式及顶点B的坐标；
    （2）求证：CB是△ABE外接圆的切线；
    （3）试探究在抛物线上是否存在一点P，使以D、E、A、P为顶点的四边形是梯形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
    分析：（1）设抛物线解析式为y=ax2+bx+c将A（3，0），D（-1，0），E（0，3）代入即可得出a，b，c的值，进而得出抛物线的解析式；
    （2）过点B作BM⊥y于点M，则M（0，4）．在Rt△AOE中，因为OA=OE=3，所以∠1=∠2=45°，再根据勾股定理即可求出AE的长，同理可得出BE的长，
    （3）由于梯形的两底边不能确定，故应分EP∥AD，AE∥DP，DE∥AP三种情况进行分类讨论．
    解答：解：（1）设抛物线解析式为y=ax2+bx+c
    将A（3，0），D（-1，0），E（0，3）代入上式，得
    9a+3b+c=0
    a-b+c=0
    c=3
    ，
    解得：a=-1，b=2，c=3，
    ∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+3．
    又∵y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，
    ∴点B（1，4）；

    （2）证明：如图，过点B作BM⊥y于点M，则M（0，4）．
    在Rt△AOE中，
    ∵OA=OE=3，
    ∴∠1=∠2=45°，AE=
    		OA2+OE2
    =
    		32+32
    =3
    		2
    ．
    在Rt△EMB中，EM=OM-OE=1=BM，
    ∴∠MEB=∠MBE=45°，BE=
    		EM2+BM2
    =
    		2
    ．
    ∴∠BEA=180°-∠1-∠MEB=90°．
    ∴AB是△ABE外接圆的直径．
    在Rt△ABE中，tan∠BAE=
    BE
    AE
    =
    1
    3
    =tan∠CBE，
    ∴∠BAE=∠CBE．
    在Rt△ABE中，∠BAE+∠3=90°，
    ∴∠CBE+∠3=90°
    ∴∠CBA=90°，即CB⊥AB．
    ∴CB是△ABE外接圆的切线；

    （3）存在．
    当EP∥AD时，
    ∵E（0，3），
    ∴直线EP的解析式为y=3，
    ∴
    y=3
    y=-x2+2x+3
    ，解得
    x=2
    y=3
    ；
    当AE∥DP时，
    设直线AE的解析式为y=kx+b（k≠0），
    ∵A（3，0），E（0，3），
    ∴
    3k+b=0
    b=3
    ，解得
    k=-1
    b=3
    ，
    ∴直线AE的解析式为y=-x+3，
    设直线DP的解析式为y=-x+b，
    ∵D（-1，0），
    ∴1+b=0，解得b=-1，
    ∴直线DP的解析式为y=-x-1，
    ∴
    y=-x-1
    y=-x2+2x+3
    ，解得
    x=4
    y=-5
    或
    x=-1
    y=0
    （舍去），
    ∴P（4，-5）；
    当DE∥AP时，
    设直线DE的解析式为y=kx+b（k≠0），
    ∵D（-1，0），E（0，3），
    ∴
    -k+b=0
    b=3
    ，解得
    k=3
    b=3
    ，
    ∴直线DE的解析式为y=3x+3，
    设直线AP的解析式为y=3x+b，
    ∵A（3，0），
    ∴9+b=0，解得b=-9，
    ∴直线AP的解析式为y=3x-9，
    ∴
    y=3x-9
    y=-x2+2x+3
    ，解得
    x=-4
    y=-21
    或
    x=3
    y=0
    （舍去）．
    综上所述，点P的坐标为（2，3）或（4，-5）或（-4，-21）．
    点评：本题考查的是二次函数综合题，涉及到用待定系数法求二次函数及一次函数的解析式，两直线平行的相关知识，难度适中．
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