Question

【题目】（1）如图1，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，先将三角板的90°角与∠ACB重合，再将三角板绕点C按顺时针方向旋转（旋转角大于0°且小于45°）．旋转后三角板的一直角边与AB交于点D．在三角板另一直角边上取一点F，使CF＝CD，线段AB上取点E，使∠DCE＝45°，连接AF，EF．请探究结果：

①直接写出∠EAF的度数＝__________度；若旋转角∠BCD＝α°，则∠AEF＝____________度（可以用含α的代数式表示）；

②DE与EF相等吗？请说明理由；

（类比探究）

（2）如图2，△ABC为等边三角形，先将三角板中的60°角与∠ACB重合，再将三角板绕点C按顺时针方向旋转（旋转角大于0°且小于30°）．旋转后三角板的一直角边与AB交于点D．在三角板斜边上取一点F，使CF＝CD，线段AB上取点E，使∠DCE＝30°，连接AF，EF．

①直接写出∠EAF的度数＝___________度；

②若AE＝1，BD＝2，求线段DE的长度．

Answer 1

【答案】(1)①90，2α；②相等，理由见解析；(2)①120；②．

【解析】

(1)①等腰直角三角形的性质可得出AC=BC，∠BAC=∠B=45°，证出∠ACF=∠BCD，由SAS证明出△ACF≌△BCD，得出∠CAF=∠B=45°，AF=DB，即可求解；②证出∠FCE=∠ECD即可证明△CFE≌△CDE，得出EF=DE，∠CFE=∠CDE，从而求出题①中∠AFE的度数；

(2)①由△ABC是等边三角形得出AC=BC，∠BAC=∠B=60°，求出∠ACF=∠BCD，，证明出△ACF≌△BCD，得出∠CAF=∠B=60°即可求解；②证出∠DCE=∠FCE，由SAS证明△CFE≌△CDE，得出DE=EF，作FH⊥AE交EA的延长线于点H，解直角三角形即可求解．

解：(1)①∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，

∴AC=BC，∠BAC=∠B=45°，

∵∠DCF=90°，

∴∠ACF=∠BCD，

在△ACF和△BCD中

∴△ACF≌△BCD(SAS)，

∴∠CAF=∠B=45°，AF=DB，

∴∠EAF=∠BAC+∠CAF=90°．

②相等

∵∠ECD=45°，∠FCD=90°，

∴∠FCE=∠ECD =45°，

在△CFE和△CDE中

△CFE≌△CDE(SAS)，

∴EF=DE，∠CFE=∠CDE，

∵∠CDE=∠B+α°=45°+α°，

∴∠EFC=45°+α°，

∴∠EFC+∠AFE=∠CDB=180°-45°-α，

∴45°+α°+∠AFE=135°-α°，

∴2α°=90°-∠AFE=∠AFE，

∴∠AFE=2α°．

(2)①∵△ABC是等边三角形，

∴AC=BC，∠BAC=∠B=60°，

又∵∠DCF=60°

∴∠ACF=∠BCD，

在△ACF和△BCD中

∴△ACF≌△BCD(SAS)，

∴∠CAF=∠B=60°，

∴∠EAF=∠CAF+∠CAE=120°．

②作FH⊥AE交EA的延长线于点H，如图所示，

∵∠DCF=60°，∠DCE=30°，

∴∠FCE=30°，

∴∠FCE=∠DCE，

在△CFE和△CDE中

△CFE≌△CDE(SAS)，

∴DE=EF，

在Rt△AFH中

∵∠AFH=180°-120°=60°，

∴AF=BD=2，

∴AH=1，FH=，

在Rt△EFH中，EF=，

∴EF=DE=．