Question

6．如图，对正方形纸片ABCD进行如下操作：

（1）过点D任作一条直线与BC边相交于点E₁（如图①），记∠CDE₁=α₁；
（2）作∠ADE₁的平分线交AB边于点E₂（如图②），记∠ADE₂=α₂；
（3）作∠CDE₂的平分线交BC边于点E₃（如图③），记∠CDE₃=α₃；
按此作法从操作（2）起重复以上步骤，得到α₁，α₂，…，α_n，…，现有如下结论：①当α₁=10°时，α₂=40°；②2α₄+α₃=90°； ③当α₅=30°时，△CDE₉≌△ADE₁₀；④当α₁=45°时，BE₂=$\sqrt{2}A{E_2}$．
其中正确的个数为（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 ①根据角平分线的定义计算即可；
②根据题意、结合图形计算；
③根据全等三角形的判定定理证明；
④作E₂F⊥BD于F，根据等腰直角三角形的性质得到BE₂=$\sqrt{2}$FE₂，根据角平分线的性质得到AE₂=FE₂，等量代换即可．

解答 解：①当a₁=10°时，a₂=$\frac{90°-10°}{2}$=40°，①正确；
②由图③可知，2a₄+a₃=90°，②正确；
③当a₅=30°时，a₉=30°，a₁₀=30°，
在△CDE₉和△ADE₁₀中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠CD{E}_{9}=∠AD{E}_{10}}\\{∠C=∠A}\\{DC=DA}\end{array}\right.$，
∴△CDE₉≌△ADE₁₀，③正确；
④当a₁=45°时，点E₁与点B重合，
作E₂F⊥BD于F，

∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABD=45°，
∴BE₂=$\sqrt{2}$FE₂，
∵DE₂平分∠ADB，E₂F⊥BD，∠A=90°，
∴AE₂=FE₂，
∴BE₂=$\sqrt{2}$AE₂，④正确，
故选：D．

点评 本题考查的是正方形的性质、角平分线的性质、全等三角形的判定，掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等、全等三角形的判定定理是解题的关键．