Question

17．如图1，已知点A（0，9），B（24，9），C（22+3$\sqrt{3}$，0），半圆P的直径MN=6$\sqrt{3}$，且P、A重合时，点M、N在AB上，过点C的直线l与x轴的夹角α为60°．现点P从A出发以每秒1个单位长度的速度向B运动，与此同时，半圆P以每秒15°的速度绕点P顺时针旋转，直线l以每秒1个单位长度的速度沿x轴负方向运动（与x轴的交点为Q）．当P、B重合时，半圆P与直线l停止运动．设点P的运动时间为t秒．
【发现】
（1）点N距x轴的最近距离为9-3$\sqrt{3}$，此时，PA的长为6；
（2）t=9时，MN所在直线是否经过原点？请说明理由．
（3）如图3，当点P在直线l时，求直线l分半圆P所成两部分的面积比．
【拓展】
如图4，当半圆P在直线左侧，且与直线l相切时，求点P的坐标．
【探究】
求出直线l与半圆P有公共点的时间有多长？

Answer 1

分析 发现：（1）当PN∥y轴时，点N距x轴的最近，根据已知条件得到PN=$\frac{1}{2}$MN=3$\sqrt{3}$，于是得到点N距x轴的最近距离为9-3$\sqrt{3}$，此时∠APN=90°，求得t=$\frac{90}{15}$=6，于是得到PA的长为6；
（2）当t=9时，得到∠APN=180°-9×15°=45°，AP=9×1=9，设此时直线MN交y轴于点D，根据三角函数的定义得到AD=AP•tan45°=9×1=9，即可得到结论；
（3）如图1，当点P在直线l上时，过点P作PH⊥x轴，垂足为H，根据三角函数的定义得到OQ=3$\sqrt{3}$+t，求得t=11，根据角的度数即可得到结论；
拓展：如图2，设直线l与AB交于点E，与半圆P相切于点T，解直角三角形得到PT=3$\sqrt{3}$，AE=AP+PE=t+6，过点E作EF⊥x轴，垂足为F，求得OQ=6+3$\sqrt{3}$+t，列方程得到t=8，即可得到结论；
探究：设直线l与AB交于点G，与半圆P相切于点R，解直角三角形得到PR=3$\sqrt{3}$，AG=AP-PG=t-6，过点G作GJ⊥x轴，垂足为J，解方程得到t=14，于是得到结论．

解答 解：发现
（1）当PN∥y轴时，点N距x轴的最近，
∵A（0，9），
∴OA=9，
∵MN=6$\sqrt{3}$，
∴PN=$\frac{1}{2}$MN=3$\sqrt{3}$，
∴点N距x轴的最近距离为9-3$\sqrt{3}$，
此时∠APN=90°，
∴t=$\frac{90}{15}$=6，
∴PA的长为6；
故答案为：9-3$\sqrt{3}$，6；

（2）MN所在直线经过原点，
理由：当t=9时，∠APN=180°-9×15°=45°，AP=9×1=9，
设此时直线MN交y轴于点D，
则AD=AP•tan45°=9×1=9，
又OA=9，
所以点D与点O重合，即MN所在直线经过原点；

（3）如图1，
当点P在直线l上时，过点P作PH⊥x轴，垂足为H，
∴OQ=OH+QH=AP+$\frac{PH}{tan60°}$=t+$\frac{9}{\sqrt{3}}$=3$\sqrt{3}$+t，
∴CQ=t，
∵OQ+CQ=3$\sqrt{3}$+t+t=OC=22+3$\sqrt{3}$，得t=11，
此时，∠APN=180°-11×15°=15°，
∠NPQ=180°-15°-60°=105°，
∠MPQ=180°-105°=75°，
∴S_左：S_右=105：75=7：5；

拓展
如图2，设直线l与AB交于点E，与半圆P相切于点T，
则PT=3$\sqrt{3}$，PE=$\frac{PT}{sin60°}$=$\frac{3\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=6，AE=AP+PE=t+6，
过点E作EF⊥x轴，垂足为F，
则OQ=OF+FQ=AE+$\frac{EF}{tan60°}$=（t+6）+$\frac{9}{\sqrt{3}}$=6+3$\sqrt{3}$+t，
CQ=t，
由OQ+CQ=6+3$\sqrt{3}$+t+t=OC=22+3$\sqrt{3}$，得t=8，
此时，点P的坐标为（8，9）；

探究
当半圆P在直线右侧，且与直线l相切时，如图3所示，
设直线l与AB交于点G，与半圆P相切于点R，
则PR=3$\sqrt{3}$，PG=$\frac{PR}{sin60°}$=$\frac{3\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=6，AG=AP-PG=t-6，
过点G作GJ⊥x轴，垂足为J，
则OQ=OJ+JQ=AG+$\frac{GJ}{tan60°}$=（t-6）+$\frac{9}{\sqrt{3}}$=3$\sqrt{3}$-6+t，
CQ=t，
由OQ+CQ=3$\sqrt{3}$-6+t+t=OC=22+3$\sqrt{3}$，得t=14，
则直线l与半圆P有公共点的时间为14-8=6秒．

点评 本题考查了圆的综合题，圆心角，解直角三角形，平移和旋转的性质，切线的性质，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．