Question

14．如图，△ABC中∠A的平分线为AD，M为BC的中点，过点M作ME∥AD交BA的延长线于E，交AC于F．
（1）求证：BE=CF；
（2）若AC=8，AB=6，求AF的长．

Answer 1

分析 （1）过B作BN∥AC交EM延长线于N点，根据平行线分线段成比例定理可得CF=BN，根据两直线平行，内错角相等可得∠CFM=∠N，再根据平行线的性质与角平分线的定义求出∠CFM=∠DAC=∠E，从而得到∠E=∠N，然后证明得到△BEN是等腰三角形即可解决问题
（2）根据平行线的性质求出∠E=∠EFA，根据等角对等边的性质求出AE=AF，再证明BE=CF=$\frac{1}{2}$（AB+AC），求出CF即可．

解答 （1）证明：过B作BN∥AC交EM延长线于N点，
∵BN∥AC，BM=CM，
∴CF：BN=CM：BM，∠CFM=∠N，
∴CF=BN，
又∵AD∥ME，AD平分∠BAC，
∴∠CFM=∠DAC=∠E，
∴∠E=∠N，
∴△BEN是等腰三角形，
∴BE=BN=CF，

（2）解：∵∠EFA=∠CFM，
∴∠E=∠EFA，
∴AE=AF，
∴AB+AC=AB+AF+FC=AB+AE+FC=BE+FC，
∵BE=CF，
∴BE=CF=$\frac{1}{2}$（AB+AC）=$\frac{1}{2}$（8+6）=7，
∴AF=AC-FC=8-7=1．

点评 本题考查了等腰三角形的判定与性质，角平分线的定义，两直线平行，内错角相等的性质，两直线平行，同位角相等的性质，作辅助线构造出等腰三角形是解题的关键，也是本题的难点．