Question

【题目】如图，不等边△ABC内接于，I是其内心，AI⊥OI，AB＝2，BC＝3，则AC的长为（ ）

A. 4B. C. D.

Answer 1

【答案】A

【解析】

延长AI交⊙O于D，连接OA、OD、BD和BI，可得BD=ID=AI．易证，则OD⊥BC，作IG⊥AB于G，又∠DBE=∠IAG，则BD=AI，所以Rt△BDE≌Rt△AIG，从而得出AB+AC=2BC，代入数据即可得到结论．

证明：如图1，延长AI交⊙O于D，连接OA、OD、BD和BI，
∵OA=OD，OI⊥AD，
∴AI=ID，
又∠DBI=∠DBC+∠CBI=∠DAC+∠CBI，
=，

因此，BD=ID=AI，
∵I是其内心，
∴AD是∠BAC的平分线，
∴

，∴OD⊥BC，记垂足为E，
∴ ，
作IG⊥AB于G，∵∠DBE=∠IAG，BD=AI，
∴△BDE≌△AIG（AAS），
∴，

如图2，过O作OM⊥AC，ON⊥BC，
∵I是其内心，
∴AG=AM，CM=CN，BG=BN，
∴AG=AC-CM=AC-（BC-BN）=AC-BC+BN=AC-BC+（AB-AG），
∴，
∴AB+AC=2BC，
∵AB=2，BC=3，
∴AC=4，
故选：A．