Question

一个长方体的香烟盒里，装满大小均匀的20支香烟，打开烟盒的顶盖后，二十支香烟排列成三行，如图所示，经测量，一支香烟的直径约为0.75cm，长约为8.4cm．
（1）试计算烟盒顶盖ABCD的面积．
（2）制作这样一个烟盒至少需要多少面积的纸张？（不计重叠粘合的部分，计算结果精确到0.1cm，

3

取1.73）

Answer 1

分析：（1）求烟盒顶盖ABCD的面积，即求AB与AD的积；如图，可以作O₁E⊥O₂O₃，求出O₁E的长，而由图发现AB=2×O₁E+一支香烟的直径，AD=7×一支香烟的直径，从而解决问题；
（2）烟盒至少需要多少面积的纸张，通过长方体的表面积公式可得．

解答：解：（1）如图，作O₁E⊥O₂O₃；
∵O₁O₂=O₂O₃=O₃O₁=0.75=

3

4

，∠O₁O₂O₃=60°，
∴O₁E=O₁O₂•sin60°=

3

4

×

3

2

=

3 3

8

，（2分）
∴AB=2×

3 3

8

+

3

4

=

3 3 +3

4

（cm），（3分）
AD=7×

3

4

=

21

4

（cm），（4分）
∴四边形ABCD的面积是：

21

4

×

3 3 +3

4

=

63 3 +63

16

（cm）²．（5分）．

（2）制作一个烟盒至少需要纸张：
2(

63 3 +63

16

+

3 3 +3

4

×8.4+

21

4

×8.4)=144.096≈144.1（cm）²（8分）
∴制作一个烟盒至少需要的纸张是144.1（cm）²．

点评：本题考查多个圆的位置关系中的面积问题，关键是将图形细化为三个圆，求出AB的长．