Question

【题目】在平面直角坐标系中，点A、C的坐标分别是（﹣1，0）和（2，0），以OC为直径作圆⊙P，AB切⊙P于点B，交y轴于点E．点M是劣弧上一动点，CM交BP于点N，BM交x轴于点D．

（1）求点E的坐标；

（2）当点M在弧BO上运动时，PD﹣PN的值是否变化？为什么？

Answer 1

【答案】（1）E（0，）；（2）PD﹣PN 值不变，理由见解析

【解析】

(1) 根据切线的性质和直角三角形的边关系解答即可;

(2) 连接OB,根据等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质得出OD=PN, 进而解答即可.

（1）∵A（﹣1，0），C（2，0），

∴OA=1，OC=2，

∵以OC为直径作⊙P，

∴OP=PC=OC=1=OA，

∴AP=2，

∵AB切⊙P于点B，

∴∠APB=90°，BP=OP=1，

∴BP=AP，

则在直角△ABP中，∠BAP=30°，

∴直角△AEO中，OE=，

∴E（0，）

（2）判断：PD﹣PN 值不变，

理由：连接OB，由（1）可知∠APB=90°，BP=AP，则∠BAP=30°，∠APB=60°，

∵BP=OP，

∴△OBP为等边三角形，

∴OB=BP=PC，∠BOP=∠BPO=60°，

∵∠BOD+∠BOP=∠BPO+∠CPN，

∴∠BOD=∠CPN，

∵∠OBM与∠OCM为同所对的圆周角，

∴∠OBM=∠OCM，

在△OBD与△PCN中，，

∴△OBD≌△PCN（ASA），

∴OD=PN，

∴PD﹣PN=PD﹣OD=PO=1，

∴PD﹣PN 值不变．