【题目】如图,ABCD中,BE平分∠ABC交AD于E,CF平分∠BCD交AD于F.
(1)求证:AF=DE;
(2)若E为AD的三等分点(靠近A点),BE=8,CF=6,求直线AD与BC之间的距离.
【答案】(1)见解析 (2)4.8
【解析】
(1)证出∠AEB=∠ABE,∠DFC=∠DCF,得出AE=AB,DF=DC,得出AE=DF,进而得出结论;
(2)作EM⊥BC于M,证出AE=EF=DF,过点E作EP∥CF交BC于P,则∠BPE=∠BCF,四边形CFEP是平行四边形,得出EP=CF=6,证出∠BEP=90°,由勾股定理求出,由面积法求出即可.
(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=DC,AB∥DC,AD∥BC,
∴∠AEB=∠CBE,∠DFC=∠BCF,
∵BE平分∠ABC,CF平分∠BCD.
∴∠ABE=∠CBE,∠DCF=∠BCF,
∴∠AEB=∠ABE,∠DFC=∠DCF,
∴AE=AB,DF=DC,
∴AE=DF,
∴AE+EF=DF+EF,
即AF=DE;
(2)解:作EM⊥BC于M,如图所示:
由(1)得:AE=DF,
∵E为AD的三等分点,
∴AE=EF=DF,
过点E作EP∥CF交BC于P,
则∠BPE=∠BCF,四边形CFEP是平行四边形,
∴EP=CF=6,
∵AB∥DC,
∴∠ABC+∠DCB=180°,
∵BE平分∠ABC,CF平分∠BCD.
∴∠ABE=∠CBE,∠DCF=∠BCF,
∴∠CBE+∠BCF=90°,
∴∠CBE+∠BPE=90°,
∴∠BEP=90°,
∴,
∴,
即AD与BC之间的距离为4.8.
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,过⊙C上一点P作⊙C的切线l.当入射光线照射在点P处时,产生反射,且满足:反射光线与切线l的夹角和入射光线与切线l的夹角相等,点P称为反射点.规定:光线不能“穿过”⊙C,即当入射光线在⊙C外时,只在圆外进行反射;当入射光线在⊙C内时,只在圆内进行反射.特别地,圆的切线不能作为入射光线和反射光线.光线在⊙C外反射的示意图如图1所示,其中∠1=∠2.
(1)自⊙C内一点出发的入射光线经⊙C第一次反射后的示意图如图2所示,P1是第1个反射点.请在图2中作出光线经⊙C第二次反射后的反射光线和反射点P3;
(2)当⊙O的半径为1时,如图3:
①第一象限内的一条入射光线平行于y轴,且自⊙O的外部照射在圆上点P处,此光线经⊙O反射后,反射光线与x轴平行,则反射光线与切线l的夹角为___________°;
②自点M(0,1)出发的入射光线,在⊙O内顺时针方向不断地反射.若第1个反射点是P1,第二个反射点是P2,以此类推,第8个反射点是P8恰好与点M重合,则第1个反射点P1的坐标为___________;
(3)如图4,点M的坐标为(0,2),⊙M的半径为1.第一象限内自点O出发的入射光线经⊙M反射后,反射光线与坐标轴无公共点,求反射点P的纵坐标的取值范围.
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【题目】如图,在中,点,,分别是边,,上的点,且,,相交于点,若点是的重心.则以下结论:①线段,,是的三条角平分线;②的面积是面积的一半;③图中与面积相等的三角形有5个;④的面积是面积的.其中一定正确的结论有( )
A.①②③B.②④C.③④D.②③④
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【题目】如图,△ABC中,AB=24,BC=26,CA=14.顺次连接△ABC各边中点,得到△A1B1C1;再顺次连接△A1B1C1各边中点,得到△A2B2C2…如此进行下去,得到,则△A8B8C8的周长为( )
A.1B.C.D.
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【题目】如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠A=90°,AD=18cm,BC=30cm.点E从点D出发,以1cm/s的速度向点A运动:点F从点C同时出发,以2cm/s的速度向点B运动,规定其中一个动点到达端点时,另一个动点也随之停止运动.设运动的时间为t秒,M为BC上一点且CM=13cm,t=_____s秒时,以D、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形.
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【题目】如图,在△ABC中,AB=9,AC=6,BC=12,点M在AB边上,且AM=3,过点M作直线MN与AC边交于点N,使截得的三角形与原三角形相似,则MN=__.
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【题目】如图,在直角坐标系中,
请写出各点的坐标.
若把向上平移2个单位,再向左平移1个单位得到,写出、、的坐标,并在图中画出平移后图形.
求出三角形ABC的面积.
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【题目】某校为了解“阳光体育”活动的开展情况,从全校2000名学生中,随机抽取部分学生进行问卷调查(每名学生只能填写一项自己喜欢的活动项目),并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图.
根据以上信息,解答下列问题:
(1)被调查的学生共有 人,并补全条形统计图;
(2)在扇形统计图中,m= ,n= ,表示区域C的圆心角为 度;
(3)全校学生中喜欢篮球的人数大约有 。
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【题目】如图,在中,,D在边AC上,且.
如图1,填空______,______
如图2,若M为线段AC上的点,过M作直线于H,分别交直线AB、BC与点N、E.
求证:是等腰三角形;
试写出线段AN、CE、CD之间的数量关系,并加以证明.
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