Question

【题目】如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+4经过点A（﹣3，0）和点B（3，2），与y轴相交于点C．

（1）求这条抛物线的表达式；

（2）点P是抛物线在第一象限内一点，联结AP，如果点C关于直线AP的对称点D恰好落在x轴上，求直线AP的截距；

（3）在（2）小题的条件下，如果点E是y轴正半轴上一点，点F是直线AP上一点．当△EAO与△EAF全等时，求点E的纵坐标．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）或3﹣6

【解析】

（1）把和点代入抛物线的解析式，列方程组，可得结论；

（2）如图1，根据对称的性质得，可得，设，则，在中，根据勾股定理得，列方程可得结论；

（3）分两种情况：先说明是直角三角形，所以也是直角三角形，根据，画图，由勾股定理列方程可解答．

解：（1）抛物线过点和点，

，

解得，

；

（2）如图1，连接，，

点关于直线的对称点，

，

与轴交于点，与轴交于点，

，

，

点，

设直线与轴交于点，则，

设，则，

在中，，

，

，

直线的截距为；

（3）点是轴正半轴上一点，

是直角三角形，且

当与全等时，存在两种情况：

①如图2，当，，

，

，，

，

，

由（2）知：，

，

中，，

，

解得：或（舍，

点的纵坐标是；

②如图3，当，，

，，

中，，

，，

中，由勾股定理得：，

，

解得：，

点的纵坐标是；

综上，点的纵坐标是或．