Question

（2006•徐州）将两张宽度相等的矩形纸片叠放在一起得到如图所示的四边形ABCD．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）如果两张矩形纸片的长都是8，宽都是2．那么菱形ABCD的周长是否存在最大值或最小值？如果存在，请求出来；如果不存在，请简要说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由矩形的性质可判定四边形ABCD是平行四边形，作平行四边形ABCD的对角线AC，DB，又DE=BF，所以Rt△DAF≌Rt△ABE，得AD=AB，所以四边形ABCD为菱形；
（2）由题意可判断，当∠DAB=90°时，菱形ABCD为正方形，周长最小值为8．当AC为矩形纸片的对角线时，周长最大值为17．
解答：（1）证明：如图，∵AD∥BC，DC∥AB，
∴四边形ABCD是平行四边形．
分别过点A、D作AE⊥BC于E，DF⊥AB于F．
∵两张矩形纸片的宽度相等，
∴AE=DF，
又∵AE•BC=DF•AB=S_?ABCD，
∴BC=AB，
∴?ABCD是菱形；

（2）解：存在最小值和最大值．（7分）
①当∠DAB=90°时，菱形ABCD为正方形，周长最小值为8；（8分）
②当AC为矩形纸片的对角线时，设AB=x．如图，
在Rt△BCG中，BC²=CG²+BG²，
即x²=（8-x）²+2²，x=．
∴周长最大值为×4=17．（9分）
点评：本题考查了菱形的判定，及运用矩形，菱形的性质进行综合运算的能力．