Question

20．如图，△ABC中，∠C=90°，BC=5，AC=5$\sqrt{3}$，点D从A出发沿AB以每秒2个单位的速度向点B匀速运动，同时，点E从B出发沿BC以每秒1个单位的速度向点C匀速运动．当一个点到达终点时，另一个点也停止运动．设点D、E运动的时间为t（t＞0），作DF⊥AC于F，连DE、EF．
（1）求证：BE=DF
（2）当t为多少时，四边形BEFD为菱形？说明理由
（3）当t=$\frac{5}{2}$秒或4秒时，△DEF为直角三角形．

Answer 1

分析 （1）先根据动点的速度、时间表示路程：AD=2t，EB=t，再根据三角函数值求∠A=30°，则DF=t，可得结论；
（2）先根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形BEFG为平行四边形，若使?AEFD为菱形则需要满足的条件：DF=BD，列方程可求得结论；
（3）①∠EDF=90°时，证明四边形ECFD为矩形，根据DF=CE列式求得；
②∠DEF=90°时，由（2）知EF∥AD，则得∠ADE=∠DEF=90°，根据BE=2BD列式求得；
③∠EFD=90°时，此种情况不存在．

解答 （1）证明：如图1，由题意得：AD=2t，EB=t，
在Rt△ACB中，tan∠A=$\frac{BC}{AC}=\frac{5}{5\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠A=30°，
∴DF=$\frac{1}{2}$AD=t，
又∵EB=t，
∴EB=DF；

（2）解：如图2，∵AC⊥BC，DF⊥AC，
∴BC∥DF，
又EB=DF，
∴四边形BEFD为平行四边形，
在Rt△ABC中，∠A=30°，BC=5，
∴AB=2BC=10，
∴BD=AB-AD=10-2t，
若使?BEFD为菱形，则需DF=BD，
即t=10-2t，t=$\frac{10}{3}$，
即当t=$\frac{10}{3}$时，四边形BEFD为菱形；

（3）解：△DEF为直角三角形时，要分三种情况：
①如图3，当∠EDF=90°时，
∴∠EDF=∠C=∠DFC=90°，
∴四边形ECFD为矩形，
∴DF=CE，
即t=5-t，t=$\frac{5}{2}$；
②如图4，∠DEF=90°时，
由（2）四边形EFDB为平行四边形，
∴EF∥AD，
∴∠BDE=∠DEF=90°，
∴∠B=90°-∠A=60°，
∴∠DEB=90°-60°=30°，
∴BE=2BD，
即t=2（10-2t），t=4，
③∠EFD=90°时，此种情况不存在；
综上所述，当t=$\frac{5}{2}$秒或4秒时，△DEF为直角三角形．
故答案为：t=$\frac{5}{2}$秒或4秒．

点评 本题是四边形的综合题，考查了动点运动问题、菱形的性质和判定、平行四边形、矩形的性质和判定、三角函数问题，难度适宜，根据不同结论确定其等量关系，列方程可以解决问题．