Question

6．如图，已知一次函数y=ax+b与反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象交于A（1，6），B（3，n）两点．
（1）求反比例函数与一次函数的解析式；
（2）根据图象直接写出ax+b-$\frac{k}{x}$＜0的x的取值范围
（3）求△AOB的面积．

Answer 1

分析 （1）把A的坐标代入求出k即可；把B的坐标代入求出n，代入求出一次函数的解析式即可；
（2）根据A、B的两点的坐标和图象得出即可；
（3）求出一次函数与x轴的交点，根据三角形的面积公式求S_△AOB=S_△AOD-S_△BOD可以直接求得结果．

解答 解：（1）点A（1，6）在反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象上，
∴k=6×1=6，
∴反比例函数的表达式为y=$\frac{6}{x}$，
∵点B（3，n）也在反比例函数的图象上，
∴n=2，
即B（3，2）
把点A（1，6），点B（3，2）代入一次函数y=kx+b中，
得$\left\{\begin{array}{l}{k+b=6}\\{3k+b=2}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=8}\end{array}\right.$，
∴一次函数的表达式为y=-2x+8；
（2）∵A的坐标为（1，6），B的坐标为（3，2），
∴kx+b-$\frac{k}{x}$＜0的x的取值范围为0＜x＜1或x＞3；
（3）设直线AB与x轴的交点为D，
令-2x+8=0，得x=4，即D（4，0）．
∵A（1，6），B（3，2），
∴S_△AOB=S_△AOD-S_△BOD=$\frac{1}{2}$×4×6-$\frac{1}{2}$×4×2=8，
答：△AOB的面积是8．

点评 本题主要考查对用待定系数法求一次函数、反比例函数的解析式，解一元一次方程，解二元一次方程组，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行计算是解此题的关键．