Question

（11·佛山）阅读材料

我们经常通过认识一个事物的局部或其特殊类型，来逐步认识这个事物；

       比如我们通过学习两类特殊的四边形，即平行四边形和梯形（继续学习它们的特殊类型如矩形、等腰梯形等）来逐步认识四边形；

       我们对课本里特殊四边形的学习，一般先学习图形的定义，再探索发现其性质和判定方法，然后通过解决简单的问题巩固所学知识；

请解决以下问题：

       如图，我们把满足AB＝CD、CB＝CD且AB≠BC的四边形ABCD叫做“筝形”；

（1）写出筝形的两个性质（定义除外）；

（2）写出筝形的两个判定方法（定义除外），并选出一个进行证明；

 

Answer 1

解：（1）

性质1：只有一组对角相等（或者∠B＝∠D，∠A≠∠C）；   …………………………1分

性质2：只有一条对角线平分对角；   ……………………………………………………2分

性质有如下参考选项：

性质3：两条对角线互相垂直，其中只有一条被另一条平分；

性质4：两组对边都不平行．

（2）判定方法1：只有一条对角线平分对角的四边形是筝形；…………………………4分

判定方法2：两条对角线互相垂直且只有一条被平分的四边形是筝形；…………………6分

判定方法有如下参考选项：

判定方法3：AC⊥BD，∠B＝∠D，∠A≠∠C；

判定方法4：AB＝CD，∠B＝∠D，∠A≠∠C；

判定方法5：AC⊥BD，AB＝CD，∠A≠∠C．

判定方法1的证明：

已知：在四边形ABCD中，对角线AC平分∠A和∠C，对角线BD不平分∠B和∠D．

求证：四边形ABCD是筝形．

证明：∵∠BAC＝∠DAC，∠BCA＝∠DCA，AC＝AC，∴△ABC≌△ADC．

∴AB＝CD，CB＝CD，①…………………………………………………………………8分

易知AC⊥BD．

又∵∠ABD≠∠CBD，

∴∠BAC≠∠BCA，∴AB≠BC．②……………………………………………………10分

由①、②知四边形ABCD是筝形．……………………………………………………11分

判定方法2的证明：

AC⊥BD，（不妨）BE＝DE→AB＝CD，CB＝CD．AE≠CE→AB≠BC．

判定方法3的证明：

若B、D不是关于AC对称，则有∠ABD＜∠ADB，∠CBD＜∠CDB（或反之）→与∠B＝∠D矛盾→B、D关于AC对称→AB＝CD，CB＝CD．     ∠A≠∠CAE→∠BAC≠∠BCA→AB≠BC．

判定方法4的证明：

AB＝CD→∠ABD＝∠ADB（结合∠B＝∠D）→∠CBD＝∠CDB→CB＝CD．

以下同判定方法3．

判定方法5的证明：对照3和4 的证明．

其他判定方法及证明参照给分．

解析:略