Question

对非负实数x，“四舍五入”到个位的值记为＜x＞，即：当n为非负整数时，如果，则＜x＞=n．
试解决下列问题：
（1）①当x≥0，m为非负整数时，求证：＜x+m＞=m+＜x＞；②举例说明＜x+y＞=＜x＞+＜y＞不恒成立；
（2）求满足的所有非负实数x的值；
（3）设n为常数，且为正整数，函数的自变量x在n≤x＜n+1范围内取值时，函数值y为整数的个数记为a，满足的所有整数k的个数记为b．求证：a=b=2n．

Answer 1

解：（1）①证明：设＜x＞=n，则为非负整数；
∴，且n+m为非负整数，
∴＜x+m＞=n+m=m+＜x＞．
②举反例：＜0.6＞+＜0.7＞=1+1=2，而＜0.6+0.7＞=＜1.3＞=1，
∴＜0.6＞+＜0.7＞≠＜0.6+0.7＞，
∴＜x+y＞=＜x＞+＜y＞不一定成立；

（2）∵x≥0，为整数，设x=k，k为整数，
则
∴
∴，
∵O≤k≤2，
∴k=0，1，2，
∴x=0，，．

（3）∵函数，n为整数，
当n≤x＜n+1时，y随x的增大而增大，
∴，即，①
∴，∵y为整数，
∴y=n²-n+1，n²-n+2，n²-n+3，…，n²-n+2n，共2n个y，
∴a=2n，②
∵k＞0，＜＞=n，
则，
∴，③
比较①，②，③得：a=b=2n．
分析：（1）①分别表示出＜x+m＞和＜x＞，即可得到所求不等式；②举出反例说明即可，譬如稍微超过0.5的两个数相加；
（2）x为整数，设这个整数为k，易得这个整数应在应在k-和k+之间，包括kx-，不包括k+，求得整数k的值即可求得x的非负实数的值；
（3）易得二次函数的对称轴，那么可求得二次函数的函数值在相应的自变量的范围内取值，进而求得相应的a的个数；利用所给关系式易得的整数个数为2n，由此得证．
点评：本题考查了二次函数的性质，解决本题的关键是理解：对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为＜x＞，即：当n为非负整数时，如果，则＜x＞=n．