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对非负实数x,“四舍五入”到个位的值记为<x>,即:当n为非负整数时,如果数学公式,则<x>=n.
试解决下列问题:
(1)①当x≥0,m为非负整数时,求证:<x+m>=m+<x>;②举例说明<x+y>=<x>+<y>不恒成立;
(2)求满足数学公式的所有非负实数x的值;
(3)设n为常数,且为正整数,函数数学公式的自变量x在n≤x<n+1范围内取值时,函数值y为整数的个数记为a,满足数学公式的所有整数k的个数记为b.求证:a=b=2n.

解:(1)①证明:设<x>=n,则为非负整数;
,且n+m为非负整数,
∴<x+m>=n+m=m+<x>.
②举反例:<0.6>+<0.7>=1+1=2,而<0.6+0.7>=<1.3>=1,
∴<0.6>+<0.7>≠<0.6+0.7>,
∴<x+y>=<x>+<y>不一定成立;

(2)∵x≥0,为整数,设x=k,k为整数,



∵O≤k≤2,
∴k=0,1,2,
∴x=0,

(3)∵函数,n为整数,
当n≤x<n+1时,y随x的增大而增大,
,即,①
,∵y为整数,
∴y=n2-n+1,n2-n+2,n2-n+3,…,n2-n+2n,共2n个y,
∴a=2n,②
∵k>0,<>=n,

,③
比较①,②,③得:a=b=2n.
分析:(1)①分别表示出<x+m>和<x>,即可得到所求不等式;②举出反例说明即可,譬如稍微超过0.5的两个数相加;
(2)x为整数,设这个整数为k,易得这个整数应在应在k-和k+之间,包括kx-,不包括k+,求得整数k的值即可求得x的非负实数的值;
(3)易得二次函数的对称轴,那么可求得二次函数的函数值在相应的自变量的范围内取值,进而求得相应的a的个数;利用所给关系式易得的整数个数为2n,由此得证.
点评:本题考查了二次函数的性质,解决本题的关键是理解:对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为<x>,即:当n为非负整数时,如果,则<x>=n.
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科目:初中数学 来源: 题型:

深化理解:
对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为<x>,
即:当n为非负整数时,如果n-
1
2
≤x<n+
1
2
,则<x>=n

如:<0>=<0.48>=0,<0.64>=<1.493>=1,<2>=2,<3.5>=<4.12>=4,…
试解决下列问题:
(1)填空:<π>=
 
(π为圆周率);
(2)如果<2x-1>=3,求实数x的取值范围.

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科目:初中数学 来源: 题型:

(2013•乐山)对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为(x).即当n为非负整数时,若n-
1
2
≤x<n+
1
2
,则(x)=n.如(0.46)=0,(3.67)=4.
给出下列关于(x)的结论:
①(1.493)=1;
②(2x)=2(x);
③若(
1
2
x-1
)=4,则实数x的取值范围是9≤x<11;
④当x≥0,m为非负整数时,有(m+2013x)=m+(2013x);
⑤(x+y)=(x)+(y);
其中,正确的结论有
①③④
①③④
(填写所有正确的序号).

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科目:初中数学 来源: 题型:

【深化理解】
对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为<x>,
即:当n为非负整数时,如果n-
1
2
≤x<n+
1
2
,则<x>=n

如:<0>=<0.48>=0,<0.64>=<1.493>=1,<2>=2,<3.5>=<4.12>=4,…
又如:如果<x+1>=5,则5-
1
2
≤x+1<5+
1
2
,所以实数x的取值范围为
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2
≤x<
9
2

试解决下列问题:
(1)填空:①<π>=
3
3
(π为圆周率);<6.93>=
7
7

②如果<2x-1>=3,则实数x的取值范围为
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4
≤x<
9
4
7
4
≤x<
9
4

(2)举例说明<x+y>=<x>+<y>不恒成立.

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科目:初中数学 来源: 题型:

对非负实数x,“四舍五入”到个位的值记为<x>,即:当n为非负整数时,如果n-
1
2
≤x<n+
1
2
,则<x>=n.
试解决下列问题:
(1)①当x≥0,m为非负整数时,求证:<x+m>=m+<x>;②举例说明<x+y>=<x>+<y>不恒成立;
(2)求满足<x>=
4
3
x
的所有非负实数x的值;
(3)设n为常数,且为正整数,函数y=x2-x+
1
4
的自变量x在n≤x<n+1范围内取值时,函数值y为整数的个数记为a,满足
k
>=n
的所有整数k的个数记为b.求证:a=b=2n.

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