【题目】在平面直角坐标系中,点A(3,﹣2)在对称轴为直线x=2的抛物线y=x2+bx+c的图象上,其顶点为B.
(1)求顶点B的坐标;
(2)点C在对称轴上,若△ABC的面积为2,求点C的坐标;
(3)将抛物线向左或右平移,使得新抛物线的顶点落在y轴上,问原抛物线上是否存在点M,平移后的对应点为N,满足OM=ON?如果存在,求出点M,N的坐标;如果不存在,请说明理由.
【答案】(1)(2,-3);(2)(2,1)或(2,﹣7);(3)见解析.
【解析】分析:根据抛物线的对称轴为直线x=2,即可求出,把点代入抛物线的解析式即可求出,把抛物线的解析式通过配方变成顶点式,即可求出点的坐标.
设则点A到对称轴的距离是1,求出的值即可.
抛物线的顶点坐标为,平移后抛物线的顶点坐标在y轴上,则抛物线向左平移了2个单位长度.平移后抛物线的解析式为: MN=2.点M与点N关于y轴对称,设则 分别代入解析式可得解得
即可求出点的坐标.
详解:(1)∵抛物线的对称轴为直线x=2,
∴,
解得:
∴
把代入,得
解得
∴该抛物线解析式为:
顶点的坐标为:
(2)设则
∵点A到对称轴的距离是1,
∴ 即a=1或
∴点C的坐标是或;
(3)∵抛物线的顶点坐标为,平移后抛物线的顶点坐标在y轴上,
∴抛物线向左平移了2个单位长度.
∴平移后抛物线的解析式为: MN=2.
∵
∴点O在线段MN的垂直平分线上,
又MN∥x轴,
∴点M与点N关于y轴对称,
设则 分别代入解析式可得
解得
∴点M的坐标为点N的坐标为.即原抛物线存在点M,平移后的对应点为N,满足OM=ON,此时点M的坐标为点N的坐标为.
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【题目】已知在等腰△ABC中,AB=AC=,BC=4,点D从A出发以每秒个单位的速度向点B运动,同时点E从点B出发以每秒4个单位的速度向点C运动,在DE的右侧作∠DEF=∠B,交直线AC于点F,设运动的时间为t秒,则当△ADF是一个以AD为腰的等腰三角形时,t的值为_____.
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【题目】如图,抛物线y=ax2+bx﹣3(a≠0)的顶点为E,该抛物线与x轴交于A(﹣1,0)、B(3,0)两点,与y轴交于点C,直线y=﹣x+1与y轴交于点D.
(1)求抛物线的解析式;
(2)证明:△DBO∽△EBC;
(3)在抛物线的对称轴上是否存在点P,使△PBC是等腰三角形?若存在,请直接写出符合条件的P点坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,在ABCD中,对角线AC,BD交于点O,点E,点F在BD上,且 BE=DF 连接AE并延长,交BC于点G,连接CF并延长,交AD于点H.
(1)求证:△AOE≌△COF;
(2)若AC平分∠HAG,求证:四边形AGCH是菱形.
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【题目】某学校办公楼前有一长为,宽为的长方形空地,在中心位置留出一个半径为的圆形区域建一个喷泉,两边是两块长方形的休息区,阴影部分为绿地.
(1)用含字母和的式子表示阴影部分的面积;
(2)当=4,=3,=1,=2时,阴影部分面积是多少?(取3)
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【题目】如图,数轴上的A、B两点所表示的数分别为a、b,a+b<0,ab<0.
(1)原点O的位置在
A.点A的右边
B.点B的左边
C.点A与点B之间 ,且靠近点A
D.点A与点B之间 ,且靠近点B
(2)若a-b=2,
①利用数轴比较大小,a 1,b -1;(填“>”、“<”或“=”).
②化简:|a-1|+|b+1|.
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【题目】如图,Rt△ABC中∠C=90°,∠BAC=30°,AB=8,以2为边长的正方形DEFG的一边GD在直线AB上,且点D与点A重合,现将正方形DEFG沿A﹣B的方向以每秒1个单位的速度匀速运动,当点D与点B重合时停止,则在这个运动过程中,正方形DEFG与△ABC的重合部分的面积S与运动时间t之间的函数关系图象大致是( )
A. B. C. D.
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【题目】如图,已知函数(x>0)的图象经过点A,B,点A的坐标为(1,2).过点A作AC∥y轴,AC=1(点C位于点A的下方),过点C作CD∥x轴,与函数的图象交于点D,过点B作BE⊥CD,垂足E在线段CD上,连接OC,OD.
(1)求△OCD的面积;
(2)当BE=AC时,求CE的长.
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