Question

9．如图，在等边△ABC中，AB=4，D是BC边上任意一点（不与B，C重合），过点D作DE⊥AC，垂足为E，作点E关于直线AD对称的点E'，作点E关于点D的对称点E″，作△EE'E″，当△EE'E″是轴对称图形时，S_△EE'E″=48-24$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 记AD与EE′交点为F，设BD=x，则CD=4-x，根据DE⊥AC且∠C=60°得DE=CDsinC=$\frac{\sqrt{3}（4-x）}{2}$、CE=CDcosC=$\frac{4-x}{2}$、AE=AC-CE=4-$\frac{4-x}{2}$=$\frac{4+x}{2}$，由点E与点E′关于AD对称、点E与点E″关于点D对称得EF=E′F、ED=E″D、∠DFE=90°，继而知DF∥E′E″、$\frac{DF}{E′E″}$=$\frac{1}{2}$，证△DFE∽△E″E′E得∠E′=∠DFE=90°，即△EE′E″为直角三角形，若△EE'E″是轴对称图形则△EE′E″为等腰直角三角形，从而根据AE=DE求得x的值，即可得DE、EF的长，从而求出S_△DEF的值，最后根据$\frac{{S}_{△DFE}}{{S}_{△E″E′E}}$=$\frac{1}{4}$可得答案．

解答 解：记AD与EE′交点为F，

设BD=x，则CD=4-x，
∵DE⊥AC，且∠C=60°，
∴DE=CDsinC=$\frac{\sqrt{3}（4-x）}{2}$，CE=CDcosC=$\frac{4-x}{2}$，
则AE=AC-CE=4-$\frac{4-x}{2}$=$\frac{4+x}{2}$，
∵点E与点E′关于AD对称，点E与点E″关于点D对称，
∴EF=E′F，ED=E″D，且∠DFE=90°，
∴DF∥E′E″，且$\frac{DF}{E′E″}$=$\frac{1}{2}$，
∴△DFE∽△E″E′E，
∴∠E′=∠DFE=90°，即△EE′E″为直角三角形，
若△EE'E″是轴对称图形，
则△EE′E″为等腰直角三角形，
∴∠DEF=∠FDE=∠DAE=45°，
∴DE=AE，即$\frac{\sqrt{3}（4-x）}{2}$=$\frac{4+x}{2}$，
解得：x=8-4$\sqrt{3}$，
∵DE=$\frac{\sqrt{3}（4-x）}{2}$=6-2$\sqrt{3}$，
∴EF=DF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$DE=3$\sqrt{2}$-$\sqrt{6}$，
则S_△DEF=$\frac{1}{2}$DF•EF=$\frac{1}{2}$EF²=$\frac{1}{2}$×（3$\sqrt{2}$-$\sqrt{6}$）²=12-6$\sqrt{3}$，
∵△DFE∽△E″E′E，且$\frac{DF}{E′E″}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{{S}_{△DFE}}{{S}_{△E″E′E}}$=$\frac{1}{4}$，
∴S_△EE'E″=4S_△DEF=4×（12-6$\sqrt{3}$）=48-24$\sqrt{3}$，
故答案为：48-24$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查对称的性质、三角函数的应用、相似三角形的判定与性质及等边三角形的性质等知识点，根据对称的性质及中位线定理判断出△EE′E″为直角三角形及根据△EE'E″是轴对称图形得出△EE′E″为等腰直角三角形是解题的关键．