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3.如图,△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4.点D从C点出发沿射线CA以每秒1个单位长度的速度匀速运动,同时点E从A点出发沿AB以每秒1个单位长度的速度向B点匀速运动,当点E到达B点时D、E都停止运动.点M是DE的中点,直线MN⊥DE交直线BC于点N,点M′与M点关于直线BC对称.点D、E的运动时间为t(秒).
(1)当t=1时,AD=2,△ADE的面积为$\frac{4}{5}$;
(2)设四边形BCDE的面积为S,当0<t<3时,求S与t的函数关系式;
(3)当直线MN与△ABC的一边垂直时,求t的值;
(4)当△MNM′为等腰直角三角形时,直接写出t的值.

分析 (1)由点D的速度得出CD为1,得出AD=3-1=2,得出△ADE的面积即可;
(2)根据四边形BCDE的面积=△ABC的面积-△ADE的面积列出关系式即可;
(3)根据直线MN与△ABC的一边垂直满足的条件,解答即可;
(4)根据△MNM′为等腰直角三角形满足的条件计算即可.

解答 解:(1)∵点D从C点出发沿射线CA以每秒1个单位长度的速度匀速运动,
∴当t=1时,CD=1,
∴AD=AC-CD=3-1=2,
同理可得AE=1,
∵∠C=90°,AC=3,BC=4,
∴AB=5,
∴sin∠A=$\frac{4}{5}$,
∴△ADE的面积=$\frac{1}{2}×1×2×\frac{4}{5}$=$\frac{4}{5}$;
故答案为:2;$\frac{4}{5}$;
(2)设四边形BCDE的面积为S,
当0<t<3时,四边形BCDE的面积=△ABC的面积-△ADE的面积
=$\frac{1}{2}×3×4-\frac{1}{2}×\frac{4}{5}×t×(3-t)$
=6-$\frac{2}{5}t(3-t)$,
可得S与t的函数关系式是:S=6-$\frac{2}{5}$t(3-t);
(3)当直线MN与△ABC的一边垂直时,
应该满足t:(3-t)=5:3
解得:t=$\frac{15}{8}$;
(4)当∠EDA=45°时,△MNM′为等腰直角三角形.
$3-t-\frac{3}{5}t=\frac{4}{5}t$,
解得:t=$\frac{5}{4}$.

点评 此题主要考查了四边形的动点问题,等腰三角形的性质以及三角形的面积计算是中考中重点内容,同学们应熟练掌握并应用.

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