Question

【题目】如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3cm，点D为AC边上一点（不与点A、C重合），以CD为边，在三角形内作矩形CDEF，在三角形外作正方形CDMN，且顶点E、F分别在边AB、BC上，连接CE．设AD的长为xcm，矩形EFMN的面积为y1cm2，△ACE的面积为y2cm2

（1）填空：y1与x的函数关系式是　 　，y2与x的函数关系式是　 　，自变量x的取值范围是　 　；

（2）在平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象；

（3）结合画出的函数图象，解决问题：当矩形EFNM的面积小于△ACE的面积时，x的取值范围是　 　．

Answer 1

【答案】（1）y1＝﹣3x+9，y2＝x，0＜x＜3；（2）见解析；（3）2＜x＜3

【解析】

（1）证出△ADE是等腰直角三角形，得出DE＝AD＝x，求出CD＝AC﹣AD＝3﹣x，由正方形的性质得出MN＝DN＝CD＝3﹣x，EN＝AC＝3，由矩形和三角形面积公式即可得出y1＝﹣3x+9，y2＝x；自变量x的取值范围是0＜x＜3；

（2）由函数关系式和自变量的取值范围画出图象即可；

（3）求出两函数交点，结合图象即可得出答案．

解：（1）∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，

∴△ABC是等腰直角三角形，

∴∠A＝45°，

∵四边形CDEF是矩形，

∴∠CDE＝90°，

∴∠ADE＝90°，

∴△ADE是等腰直角三角形，

∴DE＝AD＝x，

∴CD＝AC﹣AD＝3﹣x，

∵四边形CDMN是正方形，

∴MN＝DN＝CD＝3﹣x，

∴EN＝AC＝3，

∴矩形EFMN的面积为y1＝EN×MN＝3（3﹣x）＝﹣3x+9，即y1＝﹣3x+9；

△ACE的面积为y2＝AC×DE＝×3x＝x；即y2＝x；

自变量x的取值范围是0＜x＜3；

故答案为：y1＝﹣3x+9，y2＝x，0＜x＜3；

（2）两个函数的图象是不包括两个端点的线段，如图所示：

（3）令y1＝y2，﹣3x+9＝x解得x=2

由图象可知，当矩形EFNM的面积小于△ACE的面积时，x的取值范围是2＜x＜3；

故答案为：2＜x＜3．