【题目】如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=3cm,点D为AC边上一点(不与点A、C重合),以CD为边,在三角形内作矩形CDEF,在三角形外作正方形CDMN,且顶点E、F分别在边AB、BC上,连接CE.设AD的长为xcm,矩形EFMN的面积为y1cm2,△ACE的面积为y2cm2
(1)填空:y1与x的函数关系式是 ,y2与x的函数关系式是 ,自变量x的取值范围是 ;
(2)在平面直角坐标系中,画出这两个函数的图象;
(3)结合画出的函数图象,解决问题:当矩形EFNM的面积小于△ACE的面积时,x的取值范围是 .
【答案】(1)y1=﹣3x+9,y2=x,0<x<3;(2)见解析;(3)2<x<3
【解析】
(1)证出△ADE是等腰直角三角形,得出DE=AD=x,求出CD=AC﹣AD=3﹣x,由正方形的性质得出MN=DN=CD=3﹣x,EN=AC=3,由矩形和三角形面积公式即可得出y1=﹣3x+9,y2=x;自变量x的取值范围是0<x<3;
(2)由函数关系式和自变量的取值范围画出图象即可;
(3)求出两函数交点,结合图象即可得出答案.
解:(1)∵∠ACB=90°,AC=BC=3,
∴△ABC是等腰直角三角形,
∴∠A=45°,
∵四边形CDEF是矩形,
∴∠CDE=90°,
∴∠ADE=90°,
∴△ADE是等腰直角三角形,
∴DE=AD=x,
∴CD=AC﹣AD=3﹣x,
∵四边形CDMN是正方形,
∴MN=DN=CD=3﹣x,
∴EN=AC=3,
∴矩形EFMN的面积为y1=EN×MN=3(3﹣x)=﹣3x+9,即y1=﹣3x+9;
△ACE的面积为y2=AC×DE=×3x=x;即y2=x;
自变量x的取值范围是0<x<3;
故答案为:y1=﹣3x+9,y2=x,0<x<3;
(2)两个函数的图象是不包括两个端点的线段,如图所示:
(3)令y1=y2,﹣3x+9=x解得x=2
由图象可知,当矩形EFNM的面积小于△ACE的面积时,x的取值范围是2<x<3;
故答案为:2<x<3.
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【题目】(6分)在一个不透明的纸箱里装有红、黄、蓝三种颜色的小球,它们除颜色外完全相同,其中红球有2个,黄球有1个,蓝球有1个.现有一张电影票,小明和小亮决定通过摸球游戏定输赢(赢的一方得电影票).游戏规则是:两人各摸1次球,先由小明从纸箱里随机摸出1个球,记录颜色后放回,将小球摇匀,再由小亮随机摸出1个球并记录颜色.若两人摸到的球颜色相同,则小明赢,否则小亮赢.这个游戏规则对双方公平吗?请你利用树状图或列表法说明理由
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【题目】阅读下列解方程组的部分过程,回答下列问题
解方程组
现有两位同学的解法如下:
解法一;由①,得x=2y+5,③
把③代入②,得3(2y+5)﹣2y=3.……
解法二:①﹣②,得﹣2x=2.……
(1)解法一使用的具体方法是________,解法二使用的具体方法是______,以上两种方法的共同点是________.
(2)请你任选一种解法,把完整的解题过程写出来
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【题目】如图,矩形ABCD中,E是AD的中点,将△ABE沿BE折叠后得到△GBE,延长BG交CD于F点,若CF=1,FD=2,则BC的长为【 】
A. B. C. D.
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【题目】如图,在直角坐标系平面内,函数y=(x>0,m是常数)的图象经过A(1,4)、B(a,b),其中a>1,过点A作x轴的垂线,垂足为C,过点B作y轴的垂线,垂足为D,连接AD,AB,DC,CB.
(1)求反比例函数解析式;
(2)当△ABD的面积为S,试用a的代数式表示求S.
(3)当△ABD的面积为2时,判断四边形ABCD的形状,并说明理由.
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【题目】某商场出售一批进价为2元的贺卡,在营运中发现此商品的日销价x(单位:元)与销售量y(单位:张)之间有如下关系:
x/元 | 3 | 4 | 5 | 6 |
y/张 | 20 | 15 | 12 | 10 |
(1)猜测并确定y与x的函数关系式.
(2)当日销售单价为10元时,贺卡的日销售量是多少张?
(3)设此卡的利润为W元,试求出W与x之间的函数关系式,若物价部门规定此卡的销售单价不能超过10元,试求出当日销售单价为多少元时,每天获得的利润最大并求出最大的利润.
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【题目】如图,A、B是双曲线y=(k>0)上的点,A、B两点的横坐标分别是a、3a,线段AB的延长线交x轴于点C,若S△AOC=3.则k的值为( )
A. 2 B. 1.5 C. 4 D. 6
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【题目】阅读下面材料,完成(1)-(3)题:数学课上,老师出示了这样一道题:如图1,点是正边上一点以为边做正,连接.探究线段与的数量关系,并证明.同学们经过思考后,交流了自已的想法:
小明:“通过观察和度量,发现与相等.”
小伟:“通过全等三角形证明,再经过进一步推理,可以得到线段平分.”......
老师:“保留原题条件,连接,是的延长线上一点,(如图2),如果,可以求出、、三条线段之间的数量关系.”
(1)求证;
(2)求证线段平分;
(3)探究、、三条线段之间的数量关系,并加以证明.
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【题目】阅读下面的材料:
∵ =×,=×,=×,…,=×,
∴+++…+=×+×+×+…+×
=×=×=.
请解答下列问题:
(1)在和式+++…中,第100项是 ;
(2)化简+++…+,并求n=100时分式的值;
(3)根据上面的方法,解方程:++=.
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