Question

已知点A（-2，4）和点B（1，0）都在抛物线y=mx²+2mx+n上．
（1）求抛物线的解析式，并在平面直角坐标系中画出此抛物线并标出点A和点B；
（2）向右平移上述抛物线，记平移后点A的对应点为A′，点B的对应点为B′，若四边形AA′B′B为菱形，求平移后抛物线的解析式；
（3）在（2）中平移后的抛物线与x轴交于点C、B′，试在直线AB′上找一点P，使以C、B′、P为顶点的三角形为等腰三角形，并写出点P的坐标．

Answer 1

分析：（1）利用待定系数法即可求得函数的解析式；
（2）把已知抛物线向上下左右平移后求其解析式，需将已知抛物线化成顶点式，根据“左加右减上加下减”的原则求出平移后的抛物线；
（3）已知两定点，在限定的直线上求一点使它和已知两定点构成等腰三角形，需分两种情况考虑：一是这两定点为等腰三角形的底，做这条线段的垂直平分线，垂直平分线与限定直线的交点即为所求的其中一个点；二是这两定点为等腰三角形的腰，分别以这两定点为圆心，两定点确定的线段长为半径作圆，这两个圆与限定直线的交点即为所求．

解答：解：（1）根据题意得

4m-4m+n=4 m+2m+n=0

解之得

m=- 4 3 n=4

，
∴y=-

4

3

x²-

8

3

x+4．

（2）∵四边形AA′B′B为菱形
∴AA′=B′B′=AB=5
∵y=-

4

3

x²-

8

3

x+4=-

4

3

（x+1）²+

16

3

，
∴向右平移5各单位的抛物线的解析式为y′=-

4

3

（x-4）²+

16

3

．

（3）抛物线y′=-

4

3

（x-4）²+

16

3

．
与x轴有两个交点坐标，分别是C（2，0）B′（6，0），B′C=4，
设直线AB′的解析式是y=kx+b

-2k+b=4 6k+b=0

解得

k=- 1 2 b=3

，
直线解析式为y=-

1

2

x+3，与y轴交于点M（0，3）；
①作线段BC的垂直平分线交直线AB′于点P₁，点P₁的横坐标为4则
y=-

1

2

×4+3=1，
∴P₁（4，1）；
②以点B′为圆心，B′C长为半径作弧，交直线与点P₂，P₃
∵B′C=4，
∴P₂B′=4，
过点P₂作H₁ P₂⊥x轴
∴△P₂H₁B′∽△MOB′
∴

P2H1

MO

=

P2B′

B′M

，

P2H1

3

=

4

3 5

∴P₂H₁=

4 5

5

，
当y=

4 5

5

时，-

1

2

x+3=

4 5

5

，
解得：x=6-

8 5

5

∴P₂（6-

8 5

5

，

4 5

5

）有对称性可知P₃的纵坐标为-

4 5

5

，
∴P₃（6+

8 5

5

，-

4 5

5

）；
③以点C为圆心，CB′长为半径作圆，交直线AB′于点P₄，设P₄（m，-

1

2

m+3）
则（2-m）²+（-

m

2

+3）²=16，
解这个方程得m₁=-

2

5

，m₂=6，
∴P₄（-

2

5

，

16

5

）
满足条件得点p共有4个，分别是P₁（4，1），P₂（6-

8 5

5

，

4 5

5

），P₃（6+

8 5

5

，-

4 5

5

），P₄（-

2

5

，

16

5

）．

点评：本题考查了一次函数、二次函数，一元二次方程，三角形的有关计算，这种用圆规找点的方法不会漏掉任何一个点，达到找点时不重不漏的要求．