如图.二次函数y=12 的图象与x轴交于点A(5.0)和点B.与y轴交于点C.连结AC．(1)点B的坐标为 .点C的坐标为．(2)求直线AC的函数关系式．(3)垂直于x轴的直线l在点A与点B之间平行移动.且与抛物线和直线AC分别交于点M.N．设点M的横坐标为t.线段MN的长为p．①当t=2时.求证:p为定值,②若m≤1.则当t为何值时.p取得最大值.并求出这个最� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

如图，二次函数y=

（x-5）（ x+m）（m是常数，m＞0）的图象与x轴交于点A（5，0）和点B，与y轴交于点C，连结AC．
（1）点B的坐标为

，点C的坐标为

．（用含m的代数式表示）
（2）求直线AC的函数关系式．
（3）垂直于x轴的直线l在点A与点B之间平行移动，且与抛物线和直线AC分别交于点M、N．设点M的横坐标为t，线段MN的长为p．
①当t=2时，求证：p为定值；
②若m≤1，则当t为何值时，p取得最大值，并求出这个最大值．

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）点B纵坐标为0，点C横坐标为0，将其直接代入二次函数y=

（x-5）（x+m）即可求得坐标．
（2）求直线方程一般采用待定系数法，设直线为y=kx+b，代入A、C坐标即可．
（3）①求证p为定值，通常利用表达式表示p，此时p恰为不含字母的式子．因为t=2，此时p=y_N-y_M，这里y_M为点M的纵坐标，y_N为点N的纵坐标②求最值也要首先表示p，不过发现因为C为抛物线与直线的交点，在-m≤t≤0，p=y_M-y_N，当0≤t≤5时，p=y_N-y_M．如此要分开讨论最值，然后在综合在一起，讨论时不要遗漏题目中关于m的限制：0＜m≤1．

解答：解：（1）B（-m，0），C（0，-

m）．

（2）设AC的函数关系式为：y=kx+b，
∵A、C在直线上，
∴将A（5，0），C（0，-

m）的坐标满足方程，可得：

0=5k+b

解得：

b=-

，
∴y=

m（x-5）．

（3）①证明：∵t=2，
∴点M的纵坐标y_M=

（2-5）（ 2+m）=-

（ 2+m），
点N的纵坐标y_N=

m（2-5）=-

m．
∴p=y_N-y_M=-

（2+m）=3，即此时p为定值．
②解：∵设点M的横坐标为t，线段MN的长为p，
∴点M的纵坐标y_M=

（t-5）（t+m）=

t²+

（m-5）t-

m，点N的纵坐标y_N=

m（t-5）．
当0≤t≤5时，p=y_N-y_M=-

t²+

t=-

（t-

）²+

．此时，当t=

时，p取得最大值为

．
当-m≤t≤0时，p=y_M-y_N=

t²-

（t-

）²-

．此时，此二次函数图象开口向上，对称轴为直线t=

，
∴在-m≤t≤0时，p随t的增大而减小．当t=-m时，p取得最大值为

m²+

m．
对y=

m²+

m，根据二次函数性质，此函数开口向上，m=-

2•

为对称轴，
∴当0＜m≤1，

m²+

m的值随m值的增大而增大．
∴

m²+

m≤

×1²+

×1=3，
∴

m²+

m＜

．
∴在-m≤t≤5时，当t=

时p取得最大值，最大值为

．

点评：本题考查了二次函数的性质，并且设置了多次最值问题的讨论，是一道很需要基本功的题目．但是本题思路及方法都属于常规套路，综上是一道质量很高的题目．

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