Question

如图，四边形ABCD是平行四边形，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，过A、B两点作⊙O，AP为⊙O的切线，交DE于点P，且AE²=EF•EP．
（1）求证：∠AFE=∠B；
（2）若AB=4，AD=3

3

，AE=3，求AF的长．

Answer 1

分析：（1）首先证明△EAP∽△EFA，以及∠EAP=∠EFA，再利用切线的性质以及圆周角定理求出∠EAP=∠B=∠EFA；

（2）首先证明△ADF∽△DEC，进而得出DE的长，由相似三角形的判定与性质得出AF的长．

解答：（1）证明：∵AE²=EF•EP，

∴

AE

EF

=

EP

AE

，

∵∠AEF=∠PEA，
∴△EAP∽△EFA，
∴∠EAP=∠EFA，
由AE⊥BC得AB是⊙O的直径，

∵AP为⊙O的切线，

∴∠BAP=90°，

∵∠B+∠BAE=90°，∠BAE+∠EAP=90°，
∴∠EAP=∠B=∠EFA；


（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠ADF=∠CED∠B+∠C=180°，
∵∠AFE+∠AFD=180°，∠AFE=∠B，
∴∠AFD=∠C，
∴△ADF∽△DEC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，CD=AB=4，
又∵AE⊥BC，
∴AE⊥AD，
在Rt△ADE中，
DE=

AD2+AE2

=

(3 3 )2+32

=6，
∵△ADF∽△DEC，
∴

AD

DE

=

AF

CD

，
∴

3 3

6

=

AF

4

，
解得：AF=2

3

．

点评：此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质和圆周角定理以及切线的性质定理等知识，根据已知得出△EAP∽△EFA是解题关键．