Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，已知点A(0,2)，△AOB和△APQ都是等边三角形.

⑴求点B的坐标；

⑵试判断直线AB与直线BQ的位置关系，并证明；

⑶连接OQ，当OQ∥AB时，求P点的坐标．

Answer 1

【答案】（1）；（2）AB⊥BQ，证明见解析；（3）P.

【解析】

（1）过B作BC⊥OC于点C，易得∠BOC=30°，借助直角三角形的边角关系即可解决问题；

（2）证明△APO≌△AQB，得到∠ABQ=∠AOP=90°，即AB⊥BQ；

（3）当点P在x轴负半轴上时，点Q在点B的下方，易得△BOQ为直角三角形，利用勾股定理求出BQ，由可知OP=BQ，从而得到P点坐标；当点P在x轴正半轴时，点Q必在第一象限，OQ和AB不可能平行.

（1）如下图所示，过B作BC⊥OC于点C，

∵△AOB为等边三角形，且OA=2，

，

，

，

（2）AB⊥BQ，证明如下：

∵△APQ、△AOB都是等边三角形，

，，

∴

在△APO和△AQB中，

即AB⊥BQ.

（3）当点P在x轴负半轴上时，点Q在点B的下方，

∵AB∥OQ，AB⊥BQ，

∴OQ⊥BQ，∠BOQ=∠ABO=60°

∴∠BQO=90°

∴∠OBQ=30°，

在Rt△BOQ中，OB=OA=2，

∴，

又∵

∴此时P点坐标为

当点P在x轴正半轴时，点Q必在第一象限，OQ和AB不可能平行.

所以当OQ∥AB时， P点的坐标为.